Este post contiene un Catálogo, compendio o recopilación de las Funciones Matemáticas más utilizadas, su ecuación representativa, su gráfica y una descripción de su utilidad.
En el Catálogo de Funciones Matemáticas la primera a estudiar y más sencilla es la Lineal. En su forma más habitual está dada por la ecuación punto pendiente de la recta $f(x)=mx+b$. Estas funciones permiten establecer relaciones lineales entre la variable dependiente e independiente de manera que la proporción del crecimiento o decrecimiento de y respecto a variaciones en x se mantiene constante.
Figura 8. Función lineal $f(x)=x$
2. Funciones Polinomios
En su forma más general está dado por $P(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_2x^2+a_1x+a_0$. Las funciones polinomiales incluyen todos los grados de los exponentes permitiendo establecer relaciones complejas entre la variable $x$ y $y$, sin embargo, las funciones polinomiales más habituales tiene grados pequeños como $2$ o $3$.
Figura 9. Polinomio de segundo grado $f(x)=x^2$
3. Funciones Potencia
Este es un caso particular de un polinomio en una forma más simple y permite representar parábolas o funciones recíprocas, ya que se debe considerar que el exponente puede ser negativo, su forma general es la siguiente $f(x)=x^a$
Figura 10. Función potencia $f(x)=x^3$
4. Funciones Racionales
Representan cocientes o relación de cantidades y se pueden escribir de la siguiente forma $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ estos cocientes establecen relaciones complejas la gráfica muestra un ejemplo de este tipo de relaciones.
Figura 11. Función racional $f(x)=\frac{x−1}{x+1}$
5. Funciones Algebraicas
Son aquellas que están dadas por la combinación de operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación, o división por lo cual las funciones construidas con polinomios o funciones racionales son también algebraicas.
Figura 12. Función algebraica $f(x)=sqrtx{\frac{−1}{x+1}}$
6. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son adecuadas para describir comportamientos periódicos las funciones más comunes son $f(x)=sin(x)$, $f(x)=cos(x)$, $f(x)=tan(x)$ y sus respectivas funciones inversas.
Figura 13. Función trigonométrica $f(x)=sin(x)$
7. Funciones Exponenciales
Rn su forma más general está dado por $f(x)=a^x$. Estas funciones permiten modelamientos muy habituales de crecimientos por ejemplo la propagación de virus o crecimiento de poblaciones, así como otros procesos físicos. En particular cuando el exponente $x \approx 2,71$ la pendiente de la gráfica en $x=0$ es exactamente $1$ este número se llama $e$ y muy probablemente sea llamado así por ser la primera letra de la palabra exponential, Leonhard Euler en 1727 lo bautizó.
Figura 14. Función exponencial $f(x)=2^x$
8. Funciones Logarítmicas
En su forma más general está dado por $f(x)=log_a{x}$. Estas funciones permiten analizar crecimientos muy rápidos de funciones en escalas de un entendimiento más sencillo, un ejemplo de ello lo encontramos en las funciones que trabajan con unidades como decibelios.
Figura 15. Función logarítmica $f(x)=log_2{x}$
9. Funciones Trascendentes
Estas funciones incluyen otras como las trigonométricas, la exponencial y la logarítmica y muchas otras que no reciben ningún nombre.
En estas páginas encontraras el material necesario para comprender las diferentes Funciones Matemáticas, además de un catalogo completo con sus correspondientes usos y aplicaciones.
Las funciones aparecen cuando existen cantidades que dependen unas de las otras, normalmente se ha definido una función como una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto $A$ exactamente un elemento llamado $f(x)$f de otro conjunto $B$. En este punto tenemos algunas definiciones convenientes que realizar en el manejo de las funciones:
Dominio: este concepto corresponde al mismo conjunto $A$
Rango: este concepto corresponde al mismo conjunto $B$
Variable independiente: variable que representa un elemento arbitrario del conjunto $A$ (dominio)
Variable dependiente: variable que representa un elemento en el rango de $f$
Las funciones matemáticas se pueden representar de distintas maneras incluyendo:
Verbalmente (usando una descripción en prosa), numéricamente (con una tabla de valores)
Visualmente (con una gráfica) o algebraicamente (con una fórmula o ecuación).
La última es la forma más habitual y conveniente para expresar funciones, así mismo se puede visualizar la función recurriendo a la visualización como regla de asignación entre conjuntos, más formalmente tendríamos que si $f$ es una función cuyo dominio es $A$ su gráfica son las parejas ordenadas
$\{(x,f(x))x \in A\}$
Y su correspondiente diagrama de flechas es como el de la figura 1.
Figura 1. Diagrama de flechas para funciones
1.1. Prueba de recta vertical
Ahora bien, es importante notar que la definición de función implica que la asignación del conjunto del dominio al conjunto del rango, no realice asignaciones de forma tal que un mismo elemento del dominio asigne dos valores diferentes del rango, gráficamente esto se puede ver fácilmente mediante la Prueba de la recta vertical de tal manera que si se traza una línea vertical en el gráfico de una función esta corte la gráfica en un solo punto. De tal manera, la gráfica 2 corresponde a una parabola pero no a una función.
Figura 2. Gráfico de una curva que no es función
1.2. Funciones por secciones
Otra forma de definir funciones es utilizando la definición de funciones matemáticas por secciones, de estas funciones la más conocida es la función valor absoluto, la cual se muestra en la figura 3. De esta forma se puede definir funciones de una manera muy flexible, por ejemplo la función escalón es una de ellas.
Figura 3. Función valor absoluto
1.1. Simetría
Existen dos tipos de simetría para las Funciones Matemáticas, la simetría par y la simetría impar. La primera es cuando se cumple la condición f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) y la segunda f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), gráficamente se pueden observar estas simetrías siendo la simetría par una simetría respecto al eje yy en una gráfica en el plano cartesiano y la simetría impar una simetría respecto al origen en el plano cartesiano, las figuras 4 y 5 muestras estas simetrías respectivamente.
Figura 4. Simetría par
Figura 5. Simetría impar
1.2. Funciones Matemáticas crecientes y decrecientes
Estas dos definiciones permiten ver el comportamiento de una función en un intervalo del dominio II, de tal manera que una función es
Creciente: si se cumple que $f(x_1) \lt f(x_2)$ siempre que $x_1 \lt x_2$ en $I$
Decreciente: si se cumple que $f(x_1) \gt f(x_2)$ siempre que $x_1 \gt x_2$ en $I$
Las gráficas 6 y 7 muestran respectivamente funciones crecientes y decrecientes.
Figura 6. Función creciente
Figura 7. Función decreciente
2. Transformación de Funciones
Las transformaciones de Funciones Matemáticas son muy útiles, puesto que permiten construir funciones que a primera mano parecen muy complejas usando funciones básicas, lo anterior ayuda a imaginarnos las gráficas de las funciones con las que se trabaja fácilmente.
2.1. Desplazamientos verticales y horizontales
A continuación se listan los diferentes desplazamientos que se pueden realizar partiendo de una constante $c \gt 0$ y la función $y=f(x)$
Hacia abajo: $y=f(x)−c$
Hacia arriba: $y=f(x)+c$
Hacia la izquierda: $y=f(x+c)$
Hacia la derecha: $y=f(x−c)$
2.2. Alargamientos y reflexiones
A continuación se listan los diferentes operaciones de alargamiento y compresión que se pueden realizar partiendo de una constante $c \gt 1$ y la función $y=f(x)$
Alargamiento vertical: $y=cf(x)$
Compresión vertical: $y=(\frac{1}{c})f(x)$
Compresión horizontal: $y=f(cx)$
Alargamiento vertical: $y=f(\frac{x}{c})$
Reflexión respecto a x: $y=−f(x)$
Reflexión respecto a y: $y=f(−x)$
2.3. Algebra de funciones
Las funciones se pueden operar usando los operadores algebraicos tradicionales para obtener nuevas funciones, de forma similar existe una operación llamada composición de funciones estas operaciones se muestran a continuación para las funciones $f(x)$ y $g(x)$
Suma de funciones: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ dominio $A \cap B$
Resta de funciones: $(f−g)(x)=f(x)−g(x)$ dominio $A \cap B$
Multiplicación de funciones: $(fg)(x)=f(x)g(x)$ dominio $A \cap B$
División de funciones: $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ dominio ${x \in A \cap B | g(x) \ne 0}$
Composición de funciones: $f(u)=f(g(x))$ que también se escribe como $(f \circ g)(x)=f(g(x))$
3. Curvas paramétricas
En ocasiones las funciones pueden escribirse en términos de sus componentes en los ejes $x$ e $y$, para ellos se expresan en dos ecuaciones como sigue:
$x=f(t) \text{ ; } y=g(t)$
La variable $t$ se conoce como parámetro. Es importante notar que estas expresiones pueden dar lugar a un concepto más general que el de función debido a que si se despeja $t$ en las ecuaciones anteriores y se igualan el resultado puede no superar la prueba de la línea vertical y como consecuencia obtener una relación, para ello se utiliza el término más general curva. Considere como ejemplo el caso de las curvas paramétricas de un círculo de centro $(h,k)$ y radio $r$:
$x=h+r\sin(t) \text{ ; } y=k+r\cos(t)$
4. Funciones inversas
Antes de definir la función inversa, definamos una función uno a uno (ver correspondencia de funciones) como aquella función que nunca adopta el mismo valor dos veces:
$f(x_1) \ne f(x_2) \text{ siempre que } x_1 \neq x_2$
Otra forma de definir si una función es uno a uno es a través de la prueba de la recta horizontal, en este sentido una recta horizontal trazada sobre la gráfica de la función solamente la puede cortar una sola vez. Se define la función inversa siendo $f$ una función uno a uno con dominio $A$ y rango $B$, luego la función inversa $f^{−1}$ tiene rango $A$ y dominio $B$ y se define mediante:
$f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y$
La función inversa implica las siguientes expresiones:
$f^{-1}(f(x))=x \text{ ; }\forall x \in A$
$f(f^{-1}(x))=x \text{ ; }\forall x \in B$
Para hallar la función inversa se debe resolver a xx en término de yy siempre y cuando sea posible.
5. Correspondencia de funciones
A continuación se estudia las principales correspondencias de funciones, como son: unívoca, biunívoca, inyectiva, biyectiva, sobreyectiva; las primeras correspondencias entre funciones (unívoca, biunívoca) tratan los conceptos más generales aplicados a conjuntos, pero también pueden entenderse desde el punto de vista de las funciones y en este caso las correspondencias se denominan aplicaciones, teniendo los casos inyectiva, biyectiva y sobreyectiva que se resumen a continuación. Considere $A$ el dominio de una función $f$ cuyo rango es $B$
5.1. Funciones inyectivas
Una función es inyectiva si a elementos diferentes del dominio asigna elementos diferentes del rango, formalmente las funciones inyectivas se definen como:
$a\text{ , }a’ \in A\text{ y }a \neq a’\text{ entonces }f(a) \neq f(a’)$
5.2. Funciones sobreyectivas
Las funciones sobreyectivas también son denominadas funciones suprayectivas, epiyectivas, suryectiva, exhaustiva o subyectivas y se definen como aquellas funciones que para todo número en el rango tienen un correspondiente valor en el dominio, formalmente se define como:
$\forall b \in B \text{ } \exists \text{ } a \in A \text{ con }f(a)=b$
La función también puede ser no sobreyectiva si la anterior premisa no se cumple.
6.3. Funciones biyectivas
Estas funciones también se denominan uno a uno, y son aquellas que son inyectivas y sobreyectivas al mismo tiempo.
En esta página encontraras conceptos fundamentales de Matemáticas Operativas que incluyen relaciones básicas de trigonometría y algunos temas utilizados en situaciones más avanzadas como fracciones parciales.
Algunas de las relaciones trigonométricas mas útiles en matemáticas operativas, relacionadas con las funciones trigonométricas básicas como el seno, el coseno y la tangente se listan a continuación:
Las relaciones en un triangulo rectángulo donde $h$ representa la hipotenusa, $co$ el cateto opuesto y $ca$ el cateto adyacente del ángulo $\theta$ están dadas por las siguientes relaciones
Los logaritmos y exponenciales también hacen parte de las matemáticas operativas. Las siguientes son las leyes más representativas para el manejo de logaritmos y funciones exponenciales
$\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$
$\log_a(\frac{x}{y})=\log_a(x)-\log_a(y)$
$\log_a(x^r)=r\log_a(x)$
$\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$
$a^{x+y}=a^xa^y$
$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$
$(a^x)^y=a^{xy}$
$(ab)^x=a^xb^x$
Tenga presente que $\log_ex=\ln x$ siendo $e$ el número de Euler, para mayores detalles de logaritmos y exponenciales se puede dirigir a la sección de funciones.
4. Fracciones parciales
La expansión por fracciones parciales es una técnica muy útil para simplificar un cociente de polinomios como la combinación lineal de cocientes de polinomios más simples. Pueden analizarse la expansión en fracciones parciales utilizando los siguientes casos.
4.1. Caso 1
Caso en el cual el grado del numerador sea un grado más pequeño que el denominador. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:
Si el grado del numerador es mayor o igual que el denominador es necesario realizar la división de polinomios para luego aplicar las mismas consideraciones del caso 1.
4.3. Caso 3
Si el denominador tiene más de un factor lineal es necesario incluir un término correspondiente por cada factor. Por ejemplo:
Lo cual conduce a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones.
4.4. Caso 4
En el caso en que el denominador posea un factor cuadrático irreducible $ax^2+bx+c$ donde el discriminante $b^2-4ac$ sea negativo entonces la fracción parcial corresponde de la siguiente manera:
