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Esta artículo recopila Problemas Resueltos del Campo Eléctrico que sean complejos y cuya solución sea retadora, por lo cual se aprenderá a resolver estos ejercicios y aquellos más simples serán más fáciles de resolver.

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1. Barras Paralelas

Problema

Dos barras idénticas de largo $2a$ y con la misma carga $Q$ están separadas a una distancia $b$ siendo $b \gt 2a$. La carga esta distribuida de manera uniforme a lo largo de sus longitudes. Encuentre la fuerza ejercitada por una barra sobre la otra. La siguiente figura ilustra la situación.

Solución

Este problema puede ser difícil porque la ecuación del campo no nos permite relacionar dos cargas distribuidas puesto que el campo por definición es el efecto de una carga sobre una partícula puntual de carga, además tampoco podemos usar la ecuación de la fuerza porque requiere operar sobre cargas puntuales.

Para ello vamos a trazar la siguiente estrategia:

1. Calcularemos el campo de la barra azul sobre un diferencial de carga de la barra amarilla.
2. Calcularemos la fuerza del campo anterior sobre cada uno de los diferenciales de carga de la barra amarilla sumando todas las contribuciones.

El primer cálculo es relativamente sencillo, basta con hacer un cambio de variable ya que el diferencial de carga se puede relacionar con el diferencial de posición, esto lo hacemos para calcular la contribución de cada diferencial de carga de la barra azul con un único diferencial de carga de la barra amarilla, para simplicidad este diferencial de carga de la barra amarilla esta ubicado en b, finalmente la operación de integración juntará todas las contribuciones.

Siendo así la distribución de carga sobre la barra azul es $\lambda = \frac{Q}{2a}$ y su diferencial es:

$dq=\lambda dx$

Por lo cual el campo eléctrico en su magnitud es:

$E=k_e\int \frac{dq}{r^2}=k_e\int \frac{\lambda dx}{x^2}$

Donde $x$ es la distancia que separa el diferencial de carga de la barra azul del centro de la carga amarilla donde situamos el diferencial de carga, que será la partícula de prueba que utilizaremos para calcular el campo en ese punto. Por el momento note que no interesa la carga del la barra amarilla, solo interesa el punto $b$ donde se calculará el campo.

Esta integral es muy fácil de resolver, pero hay que poner atención en los límites, usualmente pensaríamos que es desde $-a$ hasta $a$ pero en este caso el campo sería cero, ya que estaríamos calculándolo en el centro de la barra azul, recordemos que el punto donde calculamos el campo es $b$ por lo cual la integral con límites y su evaluación es:

$E=k_e\lambda \int_{a+b}^{b-a}=k_e\lambda \frac{-1}{x}\rvert_{b-a}^{b+a}$

Evaluando en los límites y simplificando:

$E=k_e\lambda (\frac{2a}{a^2-b^2})$

El paso final consiste en calcular la fuerza teniendo el campo en este punto $b$, tenemos entonces que considerar todas las contribuciones de cada diferencial de carga en la barra amarilla y no solamente el ubicado en $b$, por lo cual debemos plantear la integral en función de la distancia, siendo $a$ fijo vamos a poner a variar la distancia $b$ desde el extremo izquierdo de la barra amarilla hasta el extremo derecho de la barra amarilla, por convención cambiaremos $b$ por $x$, resultando en la siguiente expresión de la fuerza:

$F=qE=2aK_e\lambda^2\int_{b-a}^{b+a}\frac{dx}{a^2-x^2}$

Al resolver la integral llegamos a la siguiente expresión:

$F=2aK_e\lambda^2 \frac{ln(x+a)-ln(x-a)}{2a}\rvert_{b-a}^{b+a}$

Posteriormente evaluándola y simplificando un poco obtenemos:

$F=k_e\lambda^2(ln(b+2a)+ln(b-2a)-2ln(b))$

Aplicando leyes de logaritmos, reemplazando la densidad de carga para obtener nuevamente la expresión en términos de $Q$ y teniendo presente que el logaritmo debe ser evaluado en valor absoluto puesto que queremos hallar la magnitud de la fuerza llegamos al resultado:

$F=\frac{k_eQ^2}{4a^2}ln( \frac{b^2}{b^2-4a^2})$

2. Artículos de Interés

En este artículo aprenderás los conceptos básicos de los campos eléctricos y sus leyes entendiendo las fuerzas que los rigen y como se realizan los cálculos para resolver problemas, lo cual abrirá el camino para el manejo de conceptos más avanzados en Electricidad y Magetismo.

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1. Las cargas eléctricas

La carga eléctrica es una propiedad de las partículas y las cuales generan los llamados campos eléctricos, así mismo y a diferencia de la masa la carga puede ser positiva o negativa, las siguientes propiedades definen las cargas:

• Las cargas de diferente signo se atraen mientras que las cargas iguales se repelen.
• La carga se conserva.
• La carga esta cuantizada, es decir existe en múltiplos de la carga fundamental del electrón.

En estos conceptos hay dos aspectos más a considerar, el primero es que hay estudios y experimentos que muestran partículas con cargas fraccionarias del electrón, llamado quarks, segundo que la carga del protón es exactamente la misma del electrón pero de signo contrario y tercero y esto es una opinión personal, aunque podamos describir las cargas según los efectos que producen aun no entendemos bien que son, observe como una pregunta tan simple como qué es una carga no tiene una respuesta muy clara.

2. Conductores, semiconductores y aislantes

Seguramente has escuchado hablar de conductores los cuales asociamos directamente con metales y tal cual es así, los conductores poseen una estructura atómica que hace que en el último nivel de valencia los electrones están muy débilmente ligados al núcleo permitiendo su libre movimiento, a diferencia de los semiconductores que normalmente tienen la mitad de su último nivel lleno proporcionando cierta dificultad al movimiento de los electrones, estos materiales son sobre todo germanio y silicio, aunque existen otros compuestos, finalmente los aislantes tienen lleno su último nivel y no permiten que las cargas se muevan libremente.

3. Ley de Coulomb

Esta ley es muy parecida a la ley de gravitación universal de Newton de hecho las fórmulas tienen la misma forma, quizás la principal diferencia radica en que mientras la ley de la gravedad relaciona la fuerza que atrae dos masas la Ley de Coulomb relaciona la fuerza que atrae y repele dos cargas, estas fuerzas son proporcionales al producto de las cargas (o masas) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La siguiente ecuación vectorial establece esta fuerza.

$\mathbf F_{12}=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}\mathbf r$

El vector $\mathbf r$ indica el sentido de las fuerzas y es un vector unitario dirigido desde $q_1$ hacia $q_2$ y $k_e=8.99×10^9 N \cdot m^2/C^2$ donde C es la unidad de carga eléctrica conocida como Coulomb, y en la naturaleza la carga más pequeña conocida es la del electrón o protón que difieren solo en su signo negativo o positivo respectivamente y en magnitud es igual a $\mid e \mid = 1.602×10^{19} C$.

Note que esta fórmula sólo modela el fenómeno pero no indica la naturaleza de las cargas o explica porque se atraen o repelen. En cuanto a la gravedad, Newton modelo el fenómeno pero no fue hasta Einstein que se logró comprender la gravedad como una deformación del espacio-tiempo. En el caso de las cargas aun no tenemos esta comprensión y hasta el momento solo podemos establecer las relaciones matemáticas que modelan los campos eléctricos.

4. Campos eléctricos

El concepto de campo es una construcción abstracta para indicar una región de influencia, en el caso del campo eléctrico (ya que existen muchos tipos de campos) este concepto sirve para entender una carga como puede llegar afectar a otras cargas de prueba en un punto dado del espacio, por lo cual el campo termina siendo la fuerza que ejercería una carga sobre otra carga de prueba en el espacio.

De esta manera definimos el campo eléctrico como:

$\mathbf E = \frac{\mathbf F}{q_0}$

O de forma equivalente

$\mathbf E = k_e\frac{q}{r^2}\mathbf r$

Siendo $q$ la carga que produce el campo y $r$ la distancia a la cual una carga de prueba $q_0$ generaría una fuerza en el sentido del vector unitario $\mathbf r$ dirigido entre desde la carga $q$ hacia la carga $q_0$ ubicada a una distancia $r$ de $q$.

También podemos calcular el campo eléctrico debido a un conjunto de cargas puntuales teniendo en cuenta las contribuciones de cada una de estas cargas en el campo:

$\mathbf E = k_e \sum_i \frac{q_i}{r_i}\mathbf r_i$

De forma similar, podemos tener una carga distribuida e integrar en lugar de sumar para hallar el campo total debido a esta carga, como se muestra a continuación:

$\mathbf E = k_e \int \frac{q_i}{r_i}\mathbf r_i$

5. Líneas de campo

Las líneas de campo eléctrico son una forma útil de visualizar el campo en el espacio debido a una carga, además de permitir realizar cálculos útiles de cinemática clásica usando la leyes de Newton del movimiento, de esta forma podremos calcular la aceleración de una partícula con masa $m$ en el campo así:

$\mathbf a= \frac{q \mathbf E}{m}$

La siguiente imagen muestra una ilustración del campo eléctrico debido a una carga, note que este es radial y se dirige hacia afuera para cargas positivas y hacia adentro para cargas negativas.

6. Artículos de Interés