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Las Integrales en Cálculo son una poderosa herramienta que permite resolver un sin número de casos prácticos y modelar la naturaleza de forma muy precisa, su estudio esta presente en casi todas las ramas del conocimiento, aquí encontrarás material suficiente para estudiar las Integrales, entenderlas o repasarlas.

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1. Áreas bajo Curvas

El problema del área bajo la curva se puede resolver inscribiendo rectángulos de base fija $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ donde $n$ es el número de rectángulos que se inscriben en el intervalo $[a,b]$ de esta forma el área se obtiene sumando el área a individual de cada rectángulo y haciendo que $n \to \infty$ los rectángulos inscritos pueden tomarse con cualquier punto sobre la curva (puntos de muestra) por ejemplo se pueden tomar para que estén a la izquierda, a la derecha o en un punto medio. El área bajo la curva se puede obtener entonces evaluando el siguiente límite:

$A=\lim_{n \to \infty}[f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\dotsm+f(x_n)\Delta x]$

La siguiente gráfica ilustra este proceso:

Note que para poder hallar esta área se requiere que la función sea continua.

2. Integrales en Cálculo

2.1. Integral definida

A continuación se presenta la definición de integral definida. Si $f$ es una función continua definida para $a \le x \le b$, dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual ancho $\Delta x=\frac{b−a}{n}$. Hacemos que $x_0(=a),x_1,x_2,\dotso,x_n(=b)$ sean los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos $x_i^*$⋅ se encuentre en el i-esimo subintervalo $[x_{i-1},x_{i}]$, entonces la integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$, es:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$

En la notación anterior se tiene los límites de la integral definida, la función y la variable que se quiere integrar $dx$, esta es la notación de Leibniz. De otra parte la sumatoria es conocida como Suma de Riemann. Como se anotó antes este límite siempre existe y es independiente de la elección de los puntos de muestra siempre y cuando pertenezcan al subintervalo correspondiente. Este límite también se puede hallar si $f$ posee discontinuidades de tipo salto, pero no de tipo infinito. En caso que la función a integrar tome valores negativos (este por debajo del eje $x$), durante esos intervalos el área de la función será considerada como negativa y al tomar la integral sobre un intervalo mayor que abarque porciones de la función donde sea negativa y positiva, la integral definida al ser evaluada corresponderá a una diferencia de áreas y, por lo tanto, en estos casos no puede ser interpretado el resultado como un área.

2.2 Regla del punto medio

Una forma de mejorar las aproximaciones obtenidas con la suma de Riemann consiste en utilizar los puntos medios de cada subintervalo, a este procedimiento se le conoce como regla del punto medio y establece que:

$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})\Delta x$

Donde $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ y $\overline{x_i}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ es decir el punto medio del subintervalo $[x_{i-1},x_i]$

3. Propiedades de las integrales en Cálculo

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones continuas, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• $\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx$
• Si $a=b$ entonces $\Delta x=0$ y $\int_a^af(x)dx=0$
• $\int_a^bcdx=c(b-a)$
• $\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
• $\int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx$
• $\int_a^b(f(x)-g(x))dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x)dx$
• $\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
• Si $f(x) \ge 0$ para $a \le x \le b$, entonces $`\int_a^bf(x)dx \ge 0$
• Si $f(x) \ge g(x)$ para $a \le x \le b$, entonces $\int_a^bf(x)dx \ge \int_a^bg(x)dx$
• Si $m \le f(x) \le M$ para $a \le x \le b$, entonces $m(b-a) \le \int_a^bf(x)dx \le M(b-a)$

4. Teorema de evaluación

Si $f$ es continua sobre el intervalo $[a,b]$ entonces:

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

Donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$, es decir, $F’=f$ Esta expresión se relaciona con el teorema fundamental del cálculo. Existen varias notaciones adicionales para expresar la evaluación de esta integral como la que se muestra a continuación:

$\int_a^bf(x)dx=F(x)\biggr\rvert_a^b=F(x)\biggr]_a^b$

5. Integrales en Cálculo indefinidas

La notación más conveniente para una antiderivada es una integral indefinida, que se escribe como:

$\int f(x)dx=F(x)$

Significa que $F'(x)=f(x)$ Note que una integral indefinida es una familia de funciones mientras que una integral definida es un número. Las integrales definidas e indefinidas se pueden relacionar mediante el siguiente resultado:

$\int_a^bf(x)dx=\int f(x)dx\biggr\rvert_a^b$

Las integrales indefinidas siguen las mismas propiedades de las integrales definidas, adicionalmente es conveniente contar con una breve tabla de integrales que permitan encontrar rápidamente las antiderivadas. A continuación, se provee una breve tabla.

$\int \biggl[f(x) \pm g(x)\biggr]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+a}+C \text{ con }n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

$\int e^xdx=e^x+C$

$\int \sin x dx=-\cos x+C$

$\int \cos x dx=\sin x+C$

$\int \sec^2xdx=\tan x+C$

$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x \tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x \cot xdx=-\csc x +C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin ^{-1}x+C$

$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cos ^{-1}x+C$

$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\tan^{-1}x+C$

6. Teorema del cambio total

De los resultados anteriores se puede escribir el siguiente teorema denominado teorema del cambio total: La integral de una razón de cambio es el cambio total:

$\int_a^bF'(x)dx=F(b)-F(a)$

7. Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo relaciona las dos ramas del cálculo, cálculo diferencial y cálculo integral y muestra como el proceso de integración es contrario o inverso al proceso de derivación y viceversa. Para expresar este hecho con una formulación matemática se puede plantear de la siguiente manera: Sea $f$ una función continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$, luego la función definida por:

$A(x)=\int_a^xf(t)dt\text{ con }a\le x \le b$

Es una antiderivada de $f$, es decir, $A'(x)=f(x)$ De forma alternativa se puede utilizar la notación de Leibniz:

$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$

Adicionalmente el teorema fundamental del cálculo establece que:

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

Donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$. Lo anterior implica que el teorema de evaluación está incluido en el Teorema Fundamental del Cálculo. La siguiente imagen ilustra la función $A$ (función de acumulación).

8. Integrales en Cálculo impropias

Algo muy importante cuando se tienen integrales definidas es si estas se evalúan sobre un intervalo que o bien es infinito o bien la función tiene una discontinuidad infinita, en ambos casos la integral recibe el nombre de integral impropia y debe evaluarse utilizando límites. A continuación se muestran las diferentes formas en las que una integral impropia debe evaluarse.

9. Integrales impropias por intervalos infinitos

Esta integral es comúnmente conocida como integral impropia de tipo 1 y presenta tres casos.

• Si $\int_a^tf(x)dx$ existe para todo número $t \ge a$ entonces

$\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t \to \infty}\int_a^tf(x)dx$

• Si $\int_t^bf(x)dx$ existe para todo número $t \le a$ entonces

$\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(x)dx$

Siempre y cuando el límite exista. Se dice que las integrales impropias son convergentes si el límite existe y divergentes si el límite no existe.

• Si tanto $\int_a^{\infty}f(x)dx$ como $\int_{-\infty}^bf(x)dx$ son convergentes, entonces definimos

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{\infty}f(x)dx$

Donde $a$ es cualquier número real. Es importante realizar varias observaciones con este tipo de integrales. La primera de ellas consiste en que no se puede obviar las fórmulas dadas y estas integrales deben evaluarse a través del uso de límites para obtener resultados correctos. Otro resultado importante es el siguiente:

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x}dx\text{ es divergente}$

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx\text{ es convergente}$

La siguiente gráfica muestra la función $f(x)=\frac{1}{x^2}$

En términos generales se puede escribir:

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx\text{ converge si }p>1\text{ y diverge si }p \le 1$

10. Integrales impropias por discontinuidades infinitas

Esta integral es comúnmente conocida como integral impropia de tipo 2 y presenta tres casos.

• Si $f$ es continua en $[a,b)$ y discontinua (infinitamente) en $b$ entonces

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to b^-}\int_a^tf(x)dx$

Si este limite existe.

• Si $f$ es continua sobre $(a,b]$ y discontinua (infinitamente) en $a$ entonces

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx$

Si este límite existe.

Se dice que las integrales impropias son convergentes si el límite existe y divergentes si el límite no existe.

• Si $f$ tiene un discontinuidad infinita en $c$ donde $a \lt c \lt b$ y tanto $\int_a^cf(c)dx$ como $\int_c^bf(x)dx$ son convergentes, entonces definimos

$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$

11. Teorema de comparación

Este teorema es útil cuando no se puede calcular la integral impropia, pero se desea saber si es convergente o divergente, establece lo siguiente.

Suponga que $f$ y $g$ son funciones continuas $f(x) \ge g(x) \ge 0$ para $x \ge a$

• Si $\int_a^{\infty}f(x)dx$ es convergente, entonces $\int_a^{\infty}g(x)dx$ también lo es.
• Si $\int_a^{\infty}g(x)dx$ es divergente, entonces $\int_a^{\infty}f(x)dx$ también lo es.

12. Artículos de Interés

Límites en Cálculo

Derivadas en Cálculo

https://www.ochoscar.com/2022/08/16/series/

Esta página recopila todo el material necesario para abordar los conceptos de Derivadas en Cálculo, sus definiciones, reglas y usos. En estas secciones solo se considera el caso de derivadas en una sola variable.

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1. Tangentes y razones de cambio

1.1. Tangentes

En una curva se puede trazar una recta secante que corte la curva en dos puntos, así las cosas la pendiente de esta recta esta dada por:

$m_{PQ}=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}$

En el caso en que el punto $P$ se haga acercar al punto $Q$ de forma que la recta se transforme en tangente (toque la curva en un solo punto) se tendrá el siguiente cálculo de la pendiente de la recta:

$m=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Es importante advertir que este límite puede no existir en punto $x=a$ determinado. La siguiente gráfica ilustra ambas rectas:

La expresión para calcular la recta anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

$\text{Sea }h=x-a \text{ y } x=a+h$

Entonces:

$m=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

1.2. Razones de cambio

Suponga que $y$ es una cantidad que depende de otra $x$, Por tanto, $y=f(x)$, Si $x$ cambia de $x_1$ a $x_2$ entonces se conoce como incremento a la cantidad representada por:

$\Delta x = x_1-x_2$

Se llama razón promedio de cambio de $y$ con respecto a $x$ sobre el intervalo $[x1,x2]$ al cociente de las diferencias:

$\text{razón promedio de cambio}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Este se puede interpretar como la pendiente de la recta secante a $PQ$. De forma similar, si se toma el límite de la expresión anterior se obtiene la razón instantánea de cambio de $y$ respecto a $x$ así:

$\text{razón instantánea de cambio}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x_2 \to x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

2. Derivadas

Tal como se vio en la sección anterior sobre el cálculo de pendientes de rectas tangentes, y usando ese resultado se define: La derivada de una función $f$ en un punto $a$ y denotada $f'(a)$ como:

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Si el límite existe. Alternativamente se puede escribir:

$f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

De esta forma la derivada puede interpretarse de las siguientes formas:

• La pendiente de la recta tangente de la función $f$ en el punto $a$
• La razón instantánea de cambio de $f(x)$ con respecto a $x$ cuando $x=a$

3. Derivada como una función

Si bien es posible calcular la derivada de una función en un punto determinado también se puede calcular en cualquier punto $x$ y de esta forma obtener una nueva función denominada derivada de $f$, esta función está determinada por:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

A continuación se muestra gráficamente una función (rojo) y su correspondiente derivada (azul). Es importante observar que cuando la gráfica de la función tiene pendiente cero, la gráfica de la derivada corta el eje $x$.

Algunas notaciones alternativas para representar la deriva se muestran a continuación:

$f'(x)=y’=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_Xf(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

4. Funciones derivables y no derivables

Una función es derivable en $a$ si $f'(a)$ existe, también puede ser derivable en un intervalo abierto o cerrado si es derivable en todo número perteneciente al intervalo.

Teorema Si $f$ es derivable en $a$, $f$ es continua en $a$, note que el recíproco de este teorema es falso, es decir que una función sea continua no implica que esta sea derivable. En general una función no es derivable cuando presenta picos, o su recta tangente tiene una pendiente infinita, veamos un caso y para ello trate de calcular la derivada de la función valor absoluto:

$f(x)=|x|$

Cuya gráfica se presenta a continuación:

En este caso:

$f'(x)=1 \text{ si } x>0 \text{ y }f'(x)=-1 \text{ si } x<0 $

Por lo tanto, no se tiene una recta pendiente para esta función en $x=0$. En resumen una función no es derivable en un punto $a$ si:

• El límite de la definición de derivada no existe
• La función no es continua en un punto $a$
• La gráfica presenta picos en el punto $a$
• La función presenta pendiente vertical en el punto $a$

5. Derivadas superiores

Si $f$ es una función derivable, entonces su derivada $f’$ también es una función, y, por lo tanto, $f’$ puede tener una derivada que se denota como:

$(f’)’=f”=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)=\frac{d^2y}{dx^2}$

Se llama segunda derivada de $f$. De forma similar se puede extender el concepto a terceras derivadas o n-ésimas derivadas de una función.

6. Interpretación alternativa de las derivadas

La primera derivada expresa la pendiente de la curva $f(x)$, por lo tanto, podemos concluir que:

• Si la primera derivada es cero la función $f(x)$ tiene pendiente cero.
• Si la primera derivada es positiva en un intervalo, $f(x)$ es creciente en ese intervalo.
• Si la primera derivada es negativa en un intervalo, $f(x)$ es decreciente en ese intervalo.

La siguiente gráfica aclara este concepto:

Note que en los puntos marcados como $a$ y $b$ la pendiente de la función (primera derivada) es cero. La segunda derivada también aporta información importante acerca de $f(x)$

• Si la segunda derivada es cero existe en ese punto, un punto de inflexión para $f(x)$, es decir, un punto donde la concavidad de $f(x)$ cambia
• Si la segunda derivada es positiva en un intervalo, la concavidad de $f(x)$ es hacia arriba en ese intervalo
• Si la segunda derivada es negativa en un intervalo, la concavidad de $f(x)$ es hacia abajo en ese intervalo

La siguiente gráfica aclara este concepto:

Note que la segunda derivada indica si la primera derivada es creciente o decreciente.

7. Tangentes a curvas paramétricas

Si se tienen las ecuaciones de una curva paramétricas de la forma:

$x=f(t) \text{ y } y=g(t)$

Donde el parámetro $t$ varía, se puede calcular la pendiente de esta curva sin necesidad de eliminar el parámetro $t$ con la siguiente aplicación de la regla de la cadena.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

8. Derivación implícita

Algunas ecuaciones son imposibles de resolver en términos de $y$, de forma que se puede hallar la derivada de una ecuación (como la de un círculo) sin necesidad de resolver la ecuación para $y$ derivando ambos lados de la ecuación y utilizando la regla de la cadena, este tipo de solución puede ahorrar mucho trabajo, pero es importante tener en cuenta la regla de la cadena.

9. Trayectorias ortogonales

Dos funciones (o familias de funciones) pueden ser ortogonales si en cada punto de intersección las pendientes de las rectas tangentes en esos puntos son perpendiculares. Recuerde que dos rectas son perpendiculares siempre y cuando sus pendientes multiplicadas den $-1$

10. Aproximaciones lineales

En ocasiones es conveniente trabajar con aproximaciones de funciones en lugar de la función como tal, esto se puede hacer porque la recta tangente en un punto aa es muy similar a la función cerca del punto aa, Se conoce como linealización de $f$ en $a$ a la ecuación de la recta tangente en ese punto. La linealización de una curva $f$ en $a$ se denota como $L$ y se puede obtener así:

$L=f(a)+f'(a)(x-a)$

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