Etiqueta: algebra lineal

En este artículo se tratan los diferentes tipos de Matrices que son muy utilizados en el día a día de cualquier persona que trabaje con temas de matemáticas, ingeniería o incluso Excel, se consideran las Matrices Inversas Transpuestas Elementales y sus Operaciones que se pueden realizar entre ellas.

Si quieres más información de Álgebra Lineal y vectores sigue este enlace.

1. Matrices Inversas en Álgebra Lineal

Las matrices inversas de $\mathbf A$ es aquella que multiplicada por $\mathbf A$ produce la matriz identidad de $\mathbf I$ del mismo tamaño de $\mathbf A$. No todas las matrices tienen inversa y solo se encuentra definida para matrices cuadradas. El concepto es poderoso y simple porque permite resolver el sistema de ecuaciones $\mathbf A \cdot x=b$  con una simple multiplicación, así:

$\mathbf A \cdot x=b$

$\mathbf A^{-1} \mathbf A \cdot x=\mathbf A^{-1} \cdot b$

$\mathbf I \cdot x = \mathbf A^{-1} \cdot b$

$x = \mathbf A^{-1} \cdot b$

Hemos denotado la inversa de $\mathbf A$ como $\mathbf A^-1$ donde se cumplen las siguientes propiedades:

$\mathbf A_n \mathbf I_n = \mathbf I_n \mathbf A_n = \mathbf A_n$

$\mathbf A_n \mathbf A_n^{-1} = I_n$

Para calcular la inversa de una matriz puede recurrir a la solución de sistemas de ecuaciones o a determinantes, veamos ambos casos.

1.1. Procedimiento para encontrar la matriz inversa usando sistemas de ecuaciones

• Escriba la matriz aumentada del sistema $\mathbf A| \mathbf I$

• Reduzca el sistema para poner $\mathbf A$ en su forma reducida por reglones
• Se decide si $\mathbf A$ es invertible

La solución se define entonces según corresponda:

• Si la forma escalonada reducida por reglones de $\mathbf A$ es la matriz identidad, entonces la inversa se encuentra a la izquierda en el sistema resuelto
• Si en la reducción existe un reglón de ceros a la izquierda, la matriz $\mathbf A$ no es invertible

1.2. Procedimiento para encontrar la inversa usando determinantes

Para hallar la inversa usando determinantes basta recurrir a la siguiente multiplicación:

$\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf A}\begin{bmatrix} a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

Donde el determinante de una matriz cuadrada de tamaño 2 es:

$\det \mathbf A = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

2. Matriz transpuesta

Además de las Matrices Inversas existen las Transpuestas y se define como $\mathbf A^t$ de una matriz $\mathbf A$ se obtiene al escribir las filas como columnas. Las matrices transpuestas tienen muchas propiedades útiles, a continuación se muestran estas propiedades:

${(\mathbf A^t)}^t=\mathbf A$

$(\mathbf A^t\mathbf B^t)=\mathbf A^t\mathbf B^t$

$(\mathbf A^t + \mathbf B^t)=\mathbf A^t + \mathbf B^t$

Si $\mathbf A$ es invertible, entonces $\mathbf A^t$ es invertible y ${(\mathbf A^t)}^{-1}={(\mathbf A^{-1})}^{t}$

Se dice que una matriz es simétrica si su transpuesta es igual a la matriz, note que sólo las matrices cuadradas pueden ser también simétricas.

3. Matrices elementales y matrices inversas

Como complemento a las Matrices Inversas y Transpuestas existe las matrices Elementales y sus Operaciones que se estudian en esta sección. Una operación elemental entre renglones puede representarse a través de una operación de multiplicación entre matrices, la matriz por la cual se multiplica se llama matriz elemental. Adicionalmente, una matriz inversa (o las operaciones de eliminación Gauss-Jordan) se puede representar como una multiplicación de matrices elementales, esto quiere decir que si una matriz es invertible se puede representar como una multiplicación de matrices elementales.

Matriz elemental	Efecto de multiplicación
Multiplicación	Multiplica el reglón $i$ de $\mathbf A$ por $c$
Suma	Multiplica el reglón $i$ de $\mathbf A$ por $c$ y lo suma al reglón $j$
Permutación	Permuta los reglones $i$ y $j$ de $\mathbf A$

La representación simbólica de estas operaciones y las matrices correspondientes se muestran a continuación.

3.1. Multiplicación de matrices

Representación	Matriz Elemental	Observación
$cR_i$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Siendo $i$ el reglón 2 en este ejemplo

3.2. Suma de matrices

Representación	Matriz Elemental	Observación
$R_j+cR_i$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Siendo $i$ el reglón 1 y $j$ el reglón 3 en este ejemplo

3.3. Permutación de matrices

Representación	Matriz Elemental	Observación
$P_{ij}$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}$	Siendo $i$ el reglón 2 y $j$ el reglón 3 en este ejemplo

4. Factorización de Matrices en Álgebra Lineal

Factorización: $\mathbf A = \mathbf {LU}$

Suponga que una matriz $\mathbf A$ invertible puede reducir por renglones a una matriz triangular superior sin realizar permutaciones. Entonces existen matrices únicas $\mathbf L$ y $\mathbf U$ tales que $\mathbf L$ es triangular inferior con unos en la diagonal, $\mathbf U$ es una matriz triangular superior invertible y $\mathbf A = \mathbf L \mathbf U$. Para hallar la factorización se puede reducir la matriz $\mathbf A$ por renglones (sin dejar unos en la diagonal principal) y la matriz resultante será la matriz $\mathbf U$. De forma similar si se expresan las operaciones elementales sobre renglones como matrices y se multiplican estas matrices se obtiene la matriz $\mathbf L$.

Factorización: $\mathbf {PA} = \mathbf{LU}$

Sea $\mathbf A$ cualquier matriz $mxn$. Entonces existe una matriz de permutación $\mathbf P$ tal que $\mathbf{PA}=\mathbf{LU}$ donde $\mathbf L$ y $\mathbf U$ son como en la factorización $\mathbf{LU}$, en general $\mathbf P$, $\mathbf A$ y $\mathbf U$ no son únicas. Para hallar esta factorización se procede como en el caso anterior, pero las permutaciones que se requieran hacer para obtener una matriz triangular superior (proceso de reducción por reglones) se expresan en una matriz de permutación $\mathbf P$ haciendo uso de matrices elementales.

5. Artículos de Interés

Rectas y Planos en Geometría

Determinantes en Álgebra Lineal

Sistemas de Ecuaciones Simultaneas con Matrices

Los determinantes son herramientas operativas del álgebra de matrices y lineal que permite simplificar ciertas operaciones que se realizan como el cálculo de la matriz inversa y la determinación del rango de una matriz.

Siga este vínculo para obtener más información de álgebra lineal.

1. Determinantes de Matrices en Álgebra Lineal

Las siguientes son definiciones útiles acerca de los determinantes de matrices.

• El determinante de una matriz cuadrada se expresa como $\det \mathbf A=|\mathbf A|$ note que aquí las barras no indican valor absoluto
• Se llama $\text{menor} ij$ de una matriz cuadrada $\mathbf A$ representado con $M_{ij}$ a la matriz obtenida al eliminar el reglón $i$ y la columna $j$ de la matriz $\mathbf A$
• El $\text{cofactor} ijij$ de una matriz cuadrada denotado por $A_{ij}$ esta dado por $A_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|$

Con estas definiciones podemos expresar fácilmente el determinante de cualquier matriz utilizando una expresión conocida como expansión por cofactores, así:

$\det \mathbf A=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}$

Esta expansión por cofactores también se puede llevar a cabo tomando cualquier fila o columna de la matriz. Note que esto lleva a que si cualquier fila o columna de la matriz sean sus componentes cero, entonces el determinante será cero también. Para algunas matrices el cálculo del determinante se puede simplificar, por ejemplo, para las matrices triangulares (superiores o inferiores) el determinante es solo el producto los componentes de su diagonal principal.

2. Propiedades de los determinantes

• $\det \mathbf {AB}=\det \mathbf A \det \mathbf B$
• Si una matriz $\mathbf A$ tiene factorización $\mathbf A=\mathbf L \mathbf U$ entonces $\det \mathbf{A} = \det \mathbf{U}$
• Si una matriz $\mathbf A$ tiene factorización $\mathbf{PA=LU}$ entonces $\det \mathbf{A} = \frac {\det \mathbf{U}}{\det \mathbf P} = \pm \det \mathbf U$
• $\det \mathbf A = \det \mathbf A^t$
• Si una columna o fila de $\mathbf A$ se multiplica por un escalar $c$ entonces el determinante de la nueva matriz es $c| \mathbf A|$
• Sea tres matrices $\mathbf{A,B,C}$, $\mathbf A$ y $\mathbf B$ son idénticas excepto por una columna $j$, y $\mathbf C$ es idéntica a $\mathbf A,\mathbf B$,  excepto que la columna de $\mathbf C$ es la suma de las columnas $j$ de $\mathbf A,\mathbf B$, entonces $\det \mathbf C = \det \mathbf A + \det \mathbf B$, la misma afirmación es cierta para un reglón $i$
• El intercambio de dos reglones (o columnas) de una matriz, tiene el efecto de multiplicar su determinante por $−1$
• Si una matriz tiene dos reglones (o columnas) iguales entonces su determinante es cero
• Si una matriz tiene un reglón (o columna) igual a cero entonces su determinante es cero
• Si una matriz tiene un reglón (o columna) múltiplo escalar de otro entonces su determinante es cero
• Si una matriz se suma un múltiplo escalar de un reglón (o columna) a otro entonces su determinante no cambia
• Si $\mathbf E$ es una matriz elemental que representa la operación de intercambio de dos filas, entonces $\det \mathbf E=-1$
• Si $\mathbf E$ es una matriz elemental que representa la operación de suma de una fila con un múltiplo de otra fila, entonces $\det \mathbf E=-1$
• Si $\mathbf E$ es una matriz elemental que representa la operación de multiplicación de una fila por un escalar cc, entonces $\det \mathbf E=c$

3. Determinantes y matrices inversas

Una de las propiedades más importantes de los determinantes se relaciona con la invertibilidad de una matriz, así: Una matriz es invertible, si su determinante es diferente de cero A continuación se explorará un concepto importante denominado adjunta de una matriz. Sea $\mathbf A$ una matriz y $\mathbf A_{ij}$ el cofactor de la matriz para los relgones $i$ y $j$; sea $\mathbf B$ otra matriz pero esta construida con los cofactores de la matriz $\mathbf A$ así:

$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \dotsm & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dotsm & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dotsm & A_{nn} \end{bmatrix}$

Se denomina matriz adjunta de $\mathbf A$ a la matriz $\mathbf B^t$, es decir a la matriz de cofactores transpuesta. La adjunta se puede representar simbólicamente así:

$adj \mathbf A=\mathbf B^t$

La utilidad de la matriz adjunta tiene que ver con los siguientes dos resultados:

$(\mathbf A)(adj \mathbf A)=(\det \mathbf A)(\mathbf I)$

$\mathbf A^{-1}=\frac{1}{\det \mathbf A}adj \mathbf A$

Observe que el primer resultado pone en la diagonal principal el valor del determinante y el segundo resultado implica un cálculo para obtener la inversa de una matriz.

4. Regla de Cramer

La regla de Cramer es otro método que permite encontrar la solución a un sistema de ecuaciones simultáneas, con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas. El método actualmente está en desuso, pero tiene trascendencia historia. Sea el sistema de ecuaciones:

$\mathbf{Ax}=\mathbf b$

Donde se representara con $D$ el determinante de la matriz $\mathbf A$. Adicionalmente, se tienen $n$ matrices representadas como $\mathbf A_i$ donde cada matriz es la misma matriz $\mathbf A$ pero cambiando la columna $i$ por el vector $\mathbf b$, respectivamente se cuentan con los determinantes de cada una de estas matrices representados como $D_i$, entonces la solución al sistema de ecuaciones es:

$x_i=\frac{D_i}{D}$

5. Artículos de Interés

Geometría Vectorial

Sistemas de Ecuaciones Simultaneas con Matrices

Matemáticas Operativas