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Tipos Nativos Objetos Variables y Constantes en Java

Aprende la escancia del manejo de Objetos en Java y diferéncialos de los tipos Nativos. También te explicaremos el uso de Variables y Constantes y la diferencia que existe entre el paso por valor y el paso por referencia.

Si quieres aprender sobre estructura de datos comienza aquí.

1. Referencias, Wrappers y Tipos Nativos Código Java

Cuando aprendes a programar un punto inicial son los Tipos Nativos Objetos Variables y Constantes en Java y es clave poder diferenciarlos, aquí se mostrará todo el detalle necesario para comprender esas diferencias.

1.1. Tipos de Datos Definidos por el Usuario

Aunque Java puede tener muchas clases, que en general se conocen en el mundo de la programación como tipos de datos definidos por el usuario, en realidad Java solo tiene dos tipos de datos: tipos nativos y referencias.

Los tipos nativos son aquellos que almacenan el valor en la misma posición de memoria a la cual se refieren, mientras que las referencias almacenan la dirección de memoria donde reside el objeto.

1.2. Tipos nativos en Java

Para facilitar la comprensión de este concepto vamos a comenzar con los tipos de datos nativos los cuales se pueden ver en la siguiente tabla junto con la cantidad de memoria que ocupan y el rango de valores que admiten, note que un tipo nativo no permiten que se les asigne el valor null.

Tipo de datoTamaño
boolean8 bit (false, true)
byte8 bit (-128 a 127)
short16 bit (-2^15 a 2^15-1)
int32 bit (-2^31 a 2^31-1)
long64 bit (-2^63 a 2^63-1)
float32 bit (±3.4×10^-38 a ± 3.4×10^38)
double64 bit (±1.8×10^-308 a ± 1.8×10^308)
char16 bit (Valores Unicode)
Tabla 2. Tipos de Dato Nativo

En el caso de las referencias, el tamaño que ocupa depende de la arquitectura de la JVM si es de 32 bit o de 64 bit.

Los tipos nativos se caracterizan a su vez ser palabras reservadas, es importante comprender que estos tipos nativos no representan clases u objetos y que Java a incluido versiones objetuales de los tipos nativos, así por ejemplo existe Double e Integer.

2. Constantes en Java

Tipos Nativos Objetos Variables y Constantes en Java tienen una importancia crucial en la codificación en Java en esta sección aprenderás sobre el manejo de las constantes.

2.1. Constantes numéricas

Las constantes numéricas que aparecen en el código son tratadas con int si estas no tienen un punto, en caso que lo tengan son tratadas como constantes numéricas de tipo Double, así mismo se puede forzar a interpretar una constante entera como long si la constante tiene el sufijo L o l (se aconseja utilizar el primero ya que el segundo se asemeja mucho a un carácter 1, en el caso de las constantes numéricas de punto flotante se puede forzar a interpretarlas como float si se utiliza como sufijo la letra F o f y finalmente el sufijo para double es d o D, note que todos estos sufijos hacen referencia a tipos nativos y no a los Wrapper correspondientes. Para el caso del tipo de dato char es importante reconocer que los caracteres individuales se encierran entre comillas dobles mientas que las cadenas de caracteres se encierran en comillas dobles.

2.2. Literales

Las constantes numéricas, es decir, valores fijos numéricos que aparecen el código se denominan literales (también aplica para valores de texto) y Java automáticamente los trata como int si los mismos no tienen punto decimal, en caso que tengan punto decimal se tratan como double, así mismo los literales pueden usar el carácter _ como separador, el prefijo 0 para indicar base octal, el predijo 0x o 0X para base hexadecimal y el prefijo 0b o 0B para base binaria. Algunos ejemplos de literales se muestran a continuación.

long max = 1234567890123; // No permitido, el valor literal supera el tamaño del int
double d1 = _1000.00; // El separador no es permitido al principio
double d2 = 1000.00_; // El separador no es permitido al final
double d3 = 1000_.00; //El separador no es permitido al lado del punto decimal
double d4 = 1_00_0.0_0; // Válido

3. Creación de Objetos en Java

Tipos Nativos Objetos Variables y Constantes en Java tiene una similitud, esta sección explica los objetos y es algo que normalmente los programadores incluso los experimentados no diferencian con claridad, a continuación aprenderás uno de los grandes secretos: las referencias.

En la creación de un objeto es necesario comprender que realmente se crean dos espacios de memoria diferentes, uno para la referencia y otro para el objeto.

Cuando un objeto se queda sin referencias es habilitado para que el recolector de basura libere la memoria asociada a dicho objeto automáticamente, y lo anterior tiene sentido porque si un objeto se queda sin referencias no es posible acceder desde ningún punto del código, el gráfico a continuación ilustra la relación entre referencia y objeto para el siguiente código .

Person p1 = new Person()
Relación entre objetos y referencias
Figura 1. Relación objetos y referencias

Algo importante para notar es que una referencia se crea cuando se declara en cambio el objeto se crea cuando se usa el operador new, por lo tanto se debe comprender que la referencia almacena la dirección de memoria de donde se encuentra el objeto, realmente en Java todas las variables son referencias, es decir, almacenan direcciones de memoria, excepto para los tipos nativos.

4. Paso por valor y paso por referencia

Lo anterior nos lleva a explorar lo que sucede cuando pasamos parámetros a métodos ya que existen dos formas: paso por valor que aplica para atributos nativos y paso por referencia, que aplica para los objetos, a fin de explorar este concepto consideremos el siguiente código.

public static void main(String... args) {
    int a1 = 1;
    m1(a1);
    System.out.println("a: " + a1);
    Integer i = new Integer(5);
    m2(i);
    System.out.println("Integer i: " + i);
    String s = "hi";
    m3(s);
    System.out.println("s: " + s);
    StringBuffer sb = new StringBuffer("abc");
    m4(sb);
    System.out.println("sb: " + sb);
}
public static void m1(int a) {
    a = a + 1;
}
public static void m2(Integer i) {
    i = i + 1;
}
public static void m3(String s) {
    s = s + "1";
}
public static void m4(StringBuffer s) {
    s.append("d");
}

La pregunta es ¿qué se imprime? Lo ideal es revisar con calma antes de contestar. Ahora vamos con cada impresión a revisar el fondo.

4.1. Paso por valor

  • Primera impresión: la primera impresión trata la pregunta si el método m1, es decir, si este método afecta la variable externa, la respuesta es no, debido a que la variable a se pasa por valor al ser de un tipo nativo, termina sucediendo que la variable a del main contiene un valor independiente de la variable a del método m1, por tanto la modificación de la variable a no afecta la variable externa, de hecho el parámetro del método m1 podría incluso tener otro nombre.
  • Segunda impresión: este segundo caso tiene un poco más de truco. Si nos basamos en la teoría aprendida pensaríamos que si se modifica puesto que la variable no hace referencia a un tipo nativo sino a un wrapper, sin embargo en el momento dela suma, la variable i debe ser convertida de Integer a int para poder realizar la suma. Esta característica de Java se llama autoboxing y le permite al lenguaje escribir expresiones con tipos nativos o wrappers de forma equivalente para el programador.
  • Tercera impresión: esta impresión también tiene un pequeño truco, puesto que al igual que el caso anterior pensaríamos que se ve afectada la variable externa, sin embargo, esto no sucede ya que String es una clase con comportamientos muy diferentes al resto de clases de Java. Los String en Java son inmutables y se almacenan en una parte especial de la memoria, es decir, una vez definido un String este no cambiará jamás, por lo tanto el append que se observa en el método m3 no modifica el String y por esta razón el valor externo no cambia.

4.2. Paso por referencia

  • Cuarta impresión: esta impresión asociada al método m4 es el único que en realidad es un paso por referencia de manera que lo que hagamos dentro de este método afectará la variable externa ya que ambas variables sb y s referencia el mismo espacio de memoria, esto también se puede notar ya que solamente existe un new, es decir un objeto tipo StringBuffer en este código.

5. Manejo de Strings

Ahora que conoces los Tipos Nativos Objetos Variables y Constantes en Java es hora de entender una de las clases más importantes en Java y de hecho en cualquier lenguaje, los String que permiten manejar cadenas de texto.

Como particularidad de los String cabe anotar que los objetos de esta clase se pueden representar directamente en el código, por ejemplo "hola".length() note que en este caso no fue necesario hacer un nuevo objeto tipo String para invocar el método length().

5.1. Referencias tipo String

A fin de tener presente los puntos más importantes acerca del manejo de referencias, el programador de Java debe recordar que las referencias de tipos Wrappers y de tipo String tienen un manejo diferente al resto de referencias, las primeras por que les aplica el concepto de autoboxing y las segundas por que las cadenas de texto son almacenadas de forma inmutable, es decir, una vez definido un String este no puede cambiar durante la ejecución del programa, para ejemplificar este último concepto de la inmutabilidad de los String considere el siguiente código.

public static void main(String... args) {
    String str1 = "hola";
    String str2 = "hola";
    String str3 = "hola".trim();
    String str4 = "hola   ".trim();
    System.out.println(str1 == str2);
    System.out.println(str1 == str3);
    System.out.println(str1 == str4);
}

Uno pensaría que la primera impresión es true debido a que son referencias diferentes, pero dado que Java almacena los String de forma especial y en una zona especial de la memoria, la asignación de str1 y str2 terminan apuntando a la misma dirección de memoria.

La segunda impresión sigue siendo verdadero debido a que la función trim() que recorta los espacios en blanco al principio y final de una cadena, no realiza en realidad ninguna operación, debido a que no hay nada que recortar, pero algo curioso sucede con la tercera impresión y en este caso arroja false indicando que la referencia str4 termina apuntando a un lugar diferente de memoria, y por lo tanto terminan existiendo en memoria dos objetos String con la misma información hola, note que esto sucede porque trim() no puede modificar el objeto original y cuando lo modifica deja el resultado en una posición de memoria nueva y para ello no determina si ese objeto String ya existia.

5.2. Errores comunes con Strings

Note que debido a estas características de Java, un programa puede proliferar rápidamente la cantidad de String que tiene creados. Una nota final de los String y esto solamente le sucede a esta clase, y es que no requiere un new, no en el código anterior que se realizaron asignaciones sin necesidad de crear un objeto nuevo y esto es porque Java es capaz de tratar como objetos a las cadenas de texto directamente sobre el código, por lo mismo códigos como el siguiente funcionan correctamente: "hola".trim(). Respecto a la primera impresión del código anterior, que sucedería si en lugar de ser String fueran Integer? y para ello considere el siguiente código.

public static void main(String... args) {
    Integer i1 = 10;
    Integer i2 = 10;
    Integer i3 = new Integer(10);
    Integer i4 = new Integer(10);
    System.out.println(i1 == i2);
    System.out.println(i3 == i4);
}

Este código realmente puede ser muy desconcertante, ¿qué imprimirá?

La respuesta es que la primera impresión es true y la segunda es false, la respuesta es la forma en que se crearon los objetos, el primero se hizo usando la característica de autoboxing (recuerde que esta es la habilidad que tiene Java automáticamente de pasar del tipo nativo al Wrapper según se necesite), por lo tanto en la primera ocasión los objetos apuntan a la misma dirección, este caso funciona de forma similar a los String mientras que en la segunda forma los Integer son creados como objetos primero (lo cual hace que ambas referencias i3 e i4 apunten a direcciones diferentes) y luego se inicializan los valores de estas referencias respectivamente.

6. Destrucción de objetos

Los objetos son puestos en un lugar de memoria llamado Memory Heap. Java tiene un hilo de baja prioridad denominado Garbage Collector que elimina objetos que ya no son referenciados.

Se puede invocar manualmente usando System.gc() aunque nada garantiza que se libere la memoria en un momento dado del tiempo, llamar a este método es meramente una sugerencia para Java. Similar a como los constructores crean objetos los destructores se encargan de eliminarlos, el siguiente método se invoca cuando un objeto es elegido por el recolector y puede personalizar la liberación de recursos. En realidad no es muy usado, sin embargo recuerde que este método nunca se llama dos veces: protected void finalize();

7. Artículos de Interés

Paquetes en Java

Todo lo que necesitas saber de paquetes de Java lo encuentras en esta página web, esperamos que sea de utilidad.

Si quieres saber más sobre la historia y funcionamiento de Java visita este link.

1. Funcionamiento de los paquetes en java

Las clases realmente conforman activos de las organizaciones y de hecho muchas de ellas proveen valiosos mecanismos para reutilizar código, sin embargo, miles de clases se producen y debe existir una forma para organizarlas, dicha forma se conoce como empaquetado y el mismo funciona de manera jerárquica.

2. Generalidades de los paquetes

Los paquetes entonces no son más que contenedores de clases y permiten a los programadores agruparlas de forma lógica. Respecto a los paquetes hay dos cosas que quizás no son muy conocidas pero es importante tenerlas en cuenta a la hora de programar, la primera trata del hecho que en todo programa siempre se encuentra importado por defecto el paquete java.lang en este paquete se encuentran las utilidades y clases básicas del propio core de Java.

Por ejemplo, clases para el manejo de número o cadenas de texto y la segunda es que al estar las clases contenidas en paquetes se crea un nombre de clase que incluye la jerarquía de paquetes donde se encuentra.

3. Ejemplos de paquetes

La clase ArrayList se encuentra en java.util.ArrayList, a este último se le conoce como nombre completamente cualificado. Note que los nombres de los paquetes se separan por punto y que estos nombres al ser jerárquicos se suelen nombrar como nombres de dominio al revés. Por ejemplo el paquete com.ochoscar
También es importante indicar en nuestros archivos y programas que clases utilizamos, esto haciendo uso de la palabra reservada import

4. Errores comunes con paquetes

Cuando realizamos importaciones es conveniente tener presente que no hayan validaciones redundantes de clases que teniendo el mismo nombre se encuentren en paquetes diferentes, por ejemplo, la clase Date que se encuentra tanto en el paquete java.util como en el paquete java.sql. Considere el siguiente código.

import java.util.Date;
import java.sql.Date;
public class DemoImport {
    public static void main(String args[]) {
        Date date;
    }
}

Aquí la importación falla al tener la misma clase desde paquetes diferentes, pero ¿qué hacer si se quisiera instanciar un objeto del paquete java.util y a la vez del paquete java.sql? La mejor opción aquí es utilizar los nombres completamente cualificados como se muestra a continuación.

import java.util.Date;
public class DemoImport {
    public static void main(String args[]) {
        java.sql.Date date;
    }
}

5. Comodines wildcards y subpaquetes

Respecto a las importaciones hay dos temas importante, el primero se conoce como wildcard (*) y no es otra cosa que un comodín para importar todas las clases de un paquete, debemos tener cuidado por que el wildcard no incluye subpaquetes, un ejemplo de uso del wildcard sería import java.util.*;, a manera de nota es recomendable notar que los wildcard a su vez pueden producir conflictos de importación y el segundo punto a tener en cuenta son las importaciones estáticas que sirven para importar en el archivo los miembros estáticos definidas en otra clase, esto ahorra el hecho de referirnos a estos miembros usando el nombre de la clase, para referencia observe el siguiente ejemplo.

import static java.lang.Math.*;
public class DemoImportStatic {
    public static void main(String args[]) {
        double r = 2;
        double a = PI * r * r;
    }
}

Hasta este punto se han visto los componentes esenciales de los archivos de Java, es importante que estén en un orden adecuado para que puedan ser compilados por Java.

Se debe comenzar con las declaración del paquete, las importaciones, la definición de la clase y su contenido, este último normalmente se escribe primero los atributos y luego los métodos, teniendo siempre presente la correcta tabulación, los comentarios de documentación y los nombres adecuados para los identificadores.

6. Artículos de Interés

Series en Matemáticas y Cálculo

Las Series en Matemáticas y Cálculo tiene muchas aplicaciones debido a su poder, por ejemplo podemos expresar funciones como series infinitas o simplificar cálculos, estas páginas contienen un resumen completo de las series, sus aplicaciones y definiciones.

Si deseas iniciar en el mundo del álgebra lineal sigue este vínculo.

1. Sucesiones

Las sucesiones son números consecutivos que se escriben como:

$a_1,a_2.a_3,…,a_n$

Alternativamente una sucesión infinita se puede escribir de la siguiente manera: `{a_n}` Una sucesión `{a_n}` tiene límite `L` y se escribe:

$\lim_{n \to \infty}a_n=L$

Siempre y cuando podamos hacer los términos $a_n$ se acerquen a $L$ tanto como queramos al hacer $n$ lo suficientemente grande. Si el límite anterior existe se dice que la sucesión converge de lo contrario se dice que la sucesión es divergente. Por lo anterior todas las leyes de los límites son aplicables a las sucesiones, incluyendo el teorema de la compresión y el siguiente teorema que se da sin demostración

2. Teoremas y definiciones de Series en Matemáticas y Cálculo

2.1. Crecimiento y decrecimiento

  • Una sucesión ${a_n}$ es creciente si $a_n < a_{n+1}$ para toda $n \ge 1$
  • Una sucesión ${a_n}$ es decreciente si $a_n > a_{n+1}$ para toda $n \ge 1$
  • Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente

2.2. Acotamiento

Una sucesión ${a_n}$ está acotada por arriba si existe un número $M$ tal que $a_n \le M$ para toda $n \ge 1$.

Una sucesión ${a_n}$ está acotada por debajo si existe un número $m$ tal que $a_n \ge m$ para toda $n \ge 1$.

Si la sucesión está acotada por encima y por debajo se dice que la sucesión está acotada.

2.3. Teoremas

Si $\lim_{n \to \infty}|a_n|=0$ entonces $\lim_{n \to \infty}a_n=0$.
La sucesión ${r^n}$ es convergente si $-1 \lt r \le 1$ y divergente para los demás valores de $r$.
Toda sucesión acotada y monótona es convergente

3. Series en Matemáticas y Cálculo

Una serie se obtiene al sumar los términos de una sucesión y la cual se representa de la siguiente manera

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

Dada una serie, se denota con $s_n$ a su n-ésima suma parcial:

$s_n=\sum_{i=1}^n {a_i}=a_1+a_2+a_3+ \dots +a_n$

Si la sucesión ${s_n}$ es convergente y si existe el $\lim_{n\to\infty}{s_n}=s$ como un número real, entonces la serie $\sum{a_n}$ se llama convergente y el número $s$ se denomina suma de la serie. En otro caso se entiende la serie como divergente.

3.1. Serie en Matemáticas: Serie Geométrica

La serie geométrica está dada por la siguiente expresión:

$\sum_{n=1}^{\infty}{ar^{n-a}}$

Esta serie converge siempre y cuando $|r| \lt 1$, en caso contrario diverge.
Cuando la serie converge su suma es:

$\sum_{n=1}^{\infty}{ar^{n-a}}=\frac{a}{1-r}$

4. Serie Binomial

El teorema del binomio es una forma de factorización muy conocida y que se expresa como:

$(a+b)^k=a^k+ka^{k-1}b+\frac{k(k-1)}{2!}a^{k-2}b^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}a^{k-3}b^{3}+\dots+\frac{k(k-1)(k-2)\dots(k-n+1)}{n!}a^{k-n}b^{n}+\dots+kab^{k-1}+b^k$

La notación tradicional de los coeficientes es la siguiente:

$\binom{k}{0}=1$

$\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)(k-2)\dots(k-n+1)}{nª}\text{ con }n=1,2,3, \dots ,k$

La notación anterior permite escribir el teorema del binomio así:

$(a+b)^k=\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}a^{k-n}b^n$

Considerando el caso particular $a=1$ y $b=x$:

$(1+x)^k=\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}x^n$

Esta fórmula es bien conocida para números $k$ que sean enteros positivos. Utilizando series de potencias y la serie de Maclaurin se puede expresar esta serie para otros casos de $k$ siendo fraccionario o negativo.
Si $k$ es un número real y $|x|<1$ entonces se puede expresar la serie binomial como:

$(1+x)^k=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^n$

5. Artículos de Interés

Integrales en Cálculo

Las Integrales en Cálculo son una poderosa herramienta que permite resolver un sin número de casos prácticos y modelar la naturaleza de forma muy precisa, su estudio esta presente en casi todas las ramas del conocimiento, aquí encontrarás material suficiente para estudiar las Integrales, entenderlas o repasarlas.

Si quieres iniciar en el mundo del Álgebra Lineal te recomendamos seguir ente link.

1. Áreas bajo Curvas

El problema del área bajo la curva se puede resolver inscribiendo rectángulos de base fija $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ donde $n$ es el número de rectángulos que se inscriben en el intervalo $[a,b]$ de esta forma el área se obtiene sumando el área a individual de cada rectángulo y haciendo que $n \to \infty$ los rectángulos inscritos pueden tomarse con cualquier punto sobre la curva (puntos de muestra) por ejemplo se pueden tomar para que estén a la izquierda, a la derecha o en un punto medio. El área bajo la curva se puede obtener entonces evaluando el siguiente límite:

$A=\lim_{n \to \infty}[f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\dotsm+f(x_n)\Delta x]$

La siguiente gráfica ilustra este proceso:

Área bajo una curva
Figura 1. Área bajo una curva

Note que para poder hallar esta área se requiere que la función sea continua.

2. Integrales en Cálculo

2.1. Integral definida

A continuación se presenta la definición de integral definida. Si $f$ es una función continua definida para $a \le x \le b$, dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual ancho $\Delta x=\frac{b−a}{n}$. Hacemos que $x_0(=a),x_1,x_2,\dotso,x_n(=b)$ sean los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos $x_i^*$⋅ se encuentre en el i-esimo subintervalo $[x_{i-1},x_{i}]$, entonces la integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$, es:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$

En la notación anterior se tiene los límites de la integral definida, la función y la variable que se quiere integrar $dx$, esta es la notación de Leibniz. De otra parte la sumatoria es conocida como Suma de Riemann. Como se anotó antes este límite siempre existe y es independiente de la elección de los puntos de muestra siempre y cuando pertenezcan al subintervalo correspondiente. Este límite también se puede hallar si $f$ posee discontinuidades de tipo salto, pero no de tipo infinito. En caso que la función a integrar tome valores negativos (este por debajo del eje $x$), durante esos intervalos el área de la función será considerada como negativa y al tomar la integral sobre un intervalo mayor que abarque porciones de la función donde sea negativa y positiva, la integral definida al ser evaluada corresponderá a una diferencia de áreas y, por lo tanto, en estos casos no puede ser interpretado el resultado como un área.

2.2 Regla del punto medio

Una forma de mejorar las aproximaciones obtenidas con la suma de Riemann consiste en utilizar los puntos medios de cada subintervalo, a este procedimiento se le conoce como regla del punto medio y establece que:

$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})\Delta x$

Donde $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ y $\overline{x_i}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ es decir el punto medio del subintervalo $[x_{i-1},x_i]$

3. Propiedades de las integrales en Cálculo

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones continuas, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

  • $\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx$
  • Si $a=b$ entonces $\Delta x=0$ y $\int_a^af(x)dx=0$
  • $\int_a^bcdx=c(b-a)$
  • $\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
  • $\int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx$
  • $\int_a^b(f(x)-g(x))dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x)dx$
  • $\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
  • Si $f(x) \ge 0$ para $a \le x \le b$, entonces $`\int_a^bf(x)dx \ge 0$
  • Si $f(x) \ge g(x)$ para $a \le x \le b$, entonces $\int_a^bf(x)dx \ge \int_a^bg(x)dx$
  • Si $m \le f(x) \le M$ para $a \le x \le b$, entonces $m(b-a) \le \int_a^bf(x)dx \le M(b-a)$

4. Teorema de evaluación

Si $f$ es continua sobre el intervalo $[a,b]$ entonces:

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

Donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$, es decir, $F’=f$ Esta expresión se relaciona con el teorema fundamental del cálculo. Existen varias notaciones adicionales para expresar la evaluación de esta integral como la que se muestra a continuación:

$\int_a^bf(x)dx=F(x)\biggr\rvert_a^b=F(x)\biggr]_a^b$

5. Integrales en Cálculo indefinidas

La notación más conveniente para una antiderivada es una integral indefinida, que se escribe como:

$\int f(x)dx=F(x)$

Significa que $F'(x)=f(x)$ Note que una integral indefinida es una familia de funciones mientras que una integral definida es un número. Las integrales definidas e indefinidas se pueden relacionar mediante el siguiente resultado:

$\int_a^bf(x)dx=\int f(x)dx\biggr\rvert_a^b$

Las integrales indefinidas siguen las mismas propiedades de las integrales definidas, adicionalmente es conveniente contar con una breve tabla de integrales que permitan encontrar rápidamente las antiderivadas. A continuación, se provee una breve tabla.

$\int \biggl[f(x) \pm g(x)\biggr]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+a}+C \text{ con }n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

$\int e^xdx=e^x+C$

$\int \sin x dx=-\cos x+C$

$\int \cos x dx=\sin x+C$

$\int \sec^2xdx=\tan x+C$

$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x \tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x \cot xdx=-\csc x +C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin ^{-1}x+C$

$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cos ^{-1}x+C$

$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\tan^{-1}x+C$

6. Teorema del cambio total

De los resultados anteriores se puede escribir el siguiente teorema denominado teorema del cambio total: La integral de una razón de cambio es el cambio total:

$\int_a^bF'(x)dx=F(b)-F(a)$

7. Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo relaciona las dos ramas del cálculo, cálculo diferencial y cálculo integral y muestra como el proceso de integración es contrario o inverso al proceso de derivación y viceversa. Para expresar este hecho con una formulación matemática se puede plantear de la siguiente manera: Sea $f$ una función continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$, luego la función definida por:

$A(x)=\int_a^xf(t)dt\text{ con }a\le x \le b$

Es una antiderivada de $f$, es decir, $A'(x)=f(x)$ De forma alternativa se puede utilizar la notación de Leibniz:

$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$

Adicionalmente el teorema fundamental del cálculo establece que:

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$

Donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$. Lo anterior implica que el teorema de evaluación está incluido en el Teorema Fundamental del Cálculo. La siguiente imagen ilustra la función $A$ (función de acumulación).

Función de acumulación
Figura 2. Función de acumulación

8. Integrales en Cálculo impropias

Algo muy importante cuando se tienen integrales definidas es si estas se evalúan sobre un intervalo que o bien es infinito o bien la función tiene una discontinuidad infinita, en ambos casos la integral recibe el nombre de integral impropia y debe evaluarse utilizando límites. A continuación se muestran las diferentes formas en las que una integral impropia debe evaluarse.

9. Integrales impropias por intervalos infinitos

Esta integral es comúnmente conocida como integral impropia de tipo 1 y presenta tres casos.

  • Si $\int_a^tf(x)dx$ existe para todo número $t \ge a$ entonces

$\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t \to \infty}\int_a^tf(x)dx$

  • Si $\int_t^bf(x)dx$ existe para todo número $t \le a$ entonces

$\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(x)dx$

Siempre y cuando el límite exista. Se dice que las integrales impropias son convergentes si el límite existe y divergentes si el límite no existe.

  • Si tanto $\int_a^{\infty}f(x)dx$ como $\int_{-\infty}^bf(x)dx$ son convergentes, entonces definimos

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{\infty}f(x)dx$

Donde $a$ es cualquier número real. Es importante realizar varias observaciones con este tipo de integrales. La primera de ellas consiste en que no se puede obviar las fórmulas dadas y estas integrales deben evaluarse a través del uso de límites para obtener resultados correctos. Otro resultado importante es el siguiente:

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x}dx\text{ es divergente}$

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx\text{ es convergente}$

La siguiente gráfica muestra la función $f(x)=\frac{1}{x^2}$

Función para integrales con infinitos
Figura 3. Función $\frac{1}{x^2}

En términos generales se puede escribir:

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx\text{ converge si }p>1\text{ y diverge si }p \le 1$

10. Integrales impropias por discontinuidades infinitas

Esta integral es comúnmente conocida como integral impropia de tipo 2 y presenta tres casos.

  • Si $f$ es continua en $[a,b)$ y discontinua (infinitamente) en $b$ entonces

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to b^-}\int_a^tf(x)dx$

Si este limite existe.

  • Si $f$ es continua sobre $(a,b]$ y discontinua (infinitamente) en $a$ entonces

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx$

Si este límite existe.

Se dice que las integrales impropias son convergentes si el límite existe y divergentes si el límite no existe.

  • Si $f$ tiene un discontinuidad infinita en $c$ donde $a \lt c \lt b$ y tanto $\int_a^cf(c)dx$ como $\int_c^bf(x)dx$ son convergentes, entonces definimos

$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$

11. Teorema de comparación

Este teorema es útil cuando no se puede calcular la integral impropia, pero se desea saber si es convergente o divergente, establece lo siguiente.

Suponga que $f$ y $g$ son funciones continuas $f(x) \ge g(x) \ge 0$ para $x \ge a$

  • Si $\int_a^{\infty}f(x)dx$ es convergente, entonces $\int_a^{\infty}g(x)dx$ también lo es.
  • Si $\int_a^{\infty}g(x)dx$ es divergente, entonces $\int_a^{\infty}f(x)dx$ también lo es.

12. Artículos de Interés

https://www.ochoscar.com/2022/08/16/series/

Derivadas en Cálculo

Esta página recopila todo el material necesario para abordar los conceptos de Derivadas en Cálculo, sus definiciones, reglas y usos. En estas secciones solo se considera el caso de derivadas en una sola variable.

Si quieres iniciar en el mundo del álgebra lineal da clic en este enlace.

1. Tangentes y razones de cambio

1.1. Tangentes

En una curva se puede trazar una recta secante que corte la curva en dos puntos, así las cosas la pendiente de esta recta esta dada por:

$m_{PQ}=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}$

En el caso en que el punto $P$ se haga acercar al punto $Q$ de forma que la recta se transforme en tangente (toque la curva en un solo punto) se tendrá el siguiente cálculo de la pendiente de la recta:

$m=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Es importante advertir que este límite puede no existir en punto $x=a$ determinado. La siguiente gráfica ilustra ambas rectas:

Línea secante y tangente a una curva
Figura 1. Línea secante y tangente a una curva

La expresión para calcular la recta anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

$\text{Sea }h=x-a \text{ y } x=a+h$

Entonces:

$m=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

1.2. Razones de cambio

Suponga que $y$ es una cantidad que depende de otra $x$, Por tanto, $y=f(x)$, Si $x$ cambia de $x_1$ a $x_2$ entonces se conoce como incremento a la cantidad representada por:

$\Delta x = x_1-x_2$

Se llama razón promedio de cambio de $y$ con respecto a $x$ sobre el intervalo $[x1,x2]$ al cociente de las diferencias:

$\text{razón promedio de cambio}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Este se puede interpretar como la pendiente de la recta secante a $PQ$. De forma similar, si se toma el límite de la expresión anterior se obtiene la razón instantánea de cambio de $y$ respecto a $x$ así:

$\text{razón instantánea de cambio}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x_2 \to x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

2. Derivadas

Tal como se vio en la sección anterior sobre el cálculo de pendientes de rectas tangentes, y usando ese resultado se define: La derivada de una función $f$ en un punto $a$ y denotada $f'(a)$ como:

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Si el límite existe. Alternativamente se puede escribir:

$f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

De esta forma la derivada puede interpretarse de las siguientes formas:

  • La pendiente de la recta tangente de la función $f$ en el punto $a$
  • La razón instantánea de cambio de $f(x)$ con respecto a $x$ cuando $x=a$

3. Derivada como una función

Si bien es posible calcular la derivada de una función en un punto determinado también se puede calcular en cualquier punto $x$ y de esta forma obtener una nueva función denominada derivada de $f$, esta función está determinada por:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

A continuación se muestra gráficamente una función (rojo) y su correspondiente derivada (azul). Es importante observar que cuando la gráfica de la función tiene pendiente cero, la gráfica de la derivada corta el eje $x$.

La derivada como función
Figura 2. La derivada como función

Algunas notaciones alternativas para representar la deriva se muestran a continuación:

$f'(x)=y’=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_Xf(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

4. Funciones derivables y no derivables

Una función es derivable en $a$ si $f'(a)$ existe, también puede ser derivable en un intervalo abierto o cerrado si es derivable en todo número perteneciente al intervalo.


Teorema Si $f$ es derivable en $a$, $f$ es continua en $a$, note que el recíproco de este teorema es falso, es decir que una función sea continua no implica que esta sea derivable. En general una función no es derivable cuando presenta picos, o su recta tangente tiene una pendiente infinita, veamos un caso y para ello trate de calcular la derivada de la función valor absoluto:

$f(x)=|x|$

Cuya gráfica se presenta a continuación:

Gráfica del valor absoluto
Figura 3. Gráfica del valor absoluto

En este caso:

$f'(x)=1 \text{ si } x>0 \text{ y }f'(x)=-1 \text{ si } x<0 $

Por lo tanto, no se tiene una recta pendiente para esta función en $x=0$. En resumen una función no es derivable en un punto $a$ si:

  • El límite de la definición de derivada no existe
  • La función no es continua en un punto $a$
  • La gráfica presenta picos en el punto $a$
  • La función presenta pendiente vertical en el punto $a$

5. Derivadas superiores

Si $f$ es una función derivable, entonces su derivada $f’$ también es una función, y, por lo tanto, $f’$ puede tener una derivada que se denota como:

$(f’)’=f”=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)=\frac{d^2y}{dx^2}$

Se llama segunda derivada de $f$. De forma similar se puede extender el concepto a terceras derivadas o n-ésimas derivadas de una función.

6. Interpretación alternativa de las derivadas

La primera derivada expresa la pendiente de la curva $f(x)$, por lo tanto, podemos concluir que:

  • Si la primera derivada es cero la función $f(x)$ tiene pendiente cero.
  • Si la primera derivada es positiva en un intervalo, $f(x)$ es creciente en ese intervalo.
  • Si la primera derivada es negativa en un intervalo, $f(x)$ es decreciente en ese intervalo.

La siguiente gráfica aclara este concepto:

Primera derivada
Figura 4. Primera derivada

Note que en los puntos marcados como $a$ y $b$ la pendiente de la función (primera derivada) es cero. La segunda derivada también aporta información importante acerca de $f(x)$

  • Si la segunda derivada es cero existe en ese punto, un punto de inflexión para $f(x)$, es decir, un punto donde la concavidad de $f(x)$ cambia
  • Si la segunda derivada es positiva en un intervalo, la concavidad de $f(x)$ es hacia arriba en ese intervalo
  • Si la segunda derivada es negativa en un intervalo, la concavidad de $f(x)$ es hacia abajo en ese intervalo

La siguiente gráfica aclara este concepto:

Segunda derivada
Figura 5. Segunda derivada

Note que la segunda derivada indica si la primera derivada es creciente o decreciente.

7. Tangentes a curvas paramétricas

Si se tienen las ecuaciones de una curva paramétricas de la forma:

$x=f(t) \text{ y } y=g(t)$

Donde el parámetro $t$ varía, se puede calcular la pendiente de esta curva sin necesidad de eliminar el parámetro $t$ con la siguiente aplicación de la regla de la cadena.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

8. Derivación implícita

Algunas ecuaciones son imposibles de resolver en términos de $y$, de forma que se puede hallar la derivada de una ecuación (como la de un círculo) sin necesidad de resolver la ecuación para $y$ derivando ambos lados de la ecuación y utilizando la regla de la cadena, este tipo de solución puede ahorrar mucho trabajo, pero es importante tener en cuenta la regla de la cadena.

9. Trayectorias ortogonales

Dos funciones (o familias de funciones) pueden ser ortogonales si en cada punto de intersección las pendientes de las rectas tangentes en esos puntos son perpendiculares. Recuerde que dos rectas son perpendiculares siempre y cuando sus pendientes multiplicadas den $-1$

10. Aproximaciones lineales

En ocasiones es conveniente trabajar con aproximaciones de funciones en lugar de la función como tal, esto se puede hacer porque la recta tangente en un punto aa es muy similar a la función cerca del punto aa, Se conoce como linealización de $f$ en $a$ a la ecuación de la recta tangente en ese punto. La linealización de una curva $f$ en $a$ se denota como $L$ y se puede obtener así:

$L=f(a)+f'(a)(x-a)$

11. Artículos de Interés

Límites en Cálculo

Los límites se han estudiado desde hace milenios con problemas muy famosos como el de la distancia o el de la tortuga y la liebre que contradicen el sentido común, solo hasta que se instauro el Límite en el Cálculo se pudo comprender la solución de estos problemas.

Si quieres iniciar desde lo básico, da clic en este link para estudiar matemáticas operativas.

1. Definición de Límites en Cálculo

Los límites aparecen en muchos ejemplos, uno de los más representativos es el problema de la pendiente, en el cual se quiere hallar la recta tangente a un punto de una curva, para ello se seleccionan dos puntos muy cercanos de la curva y se calcula la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.

Línea secante a una curva
Figura 1. Línea secante a una curva

Acercar los puntos cada vez más conlleva a los límites, que se puede escribir como:

$\lim_{Q \to P}m_{PQ}$

En forma más general el límite de una función f$(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es igual $L$ y se denota como:

$\lim_{x \to a}f(x)=L$

Si podemos acercar arbitrariamente los valores de $f(x)$ a $L$ (tanto como deseemos) escogiendo una xx lo bastante cerca de $a$, pero no igual a $a$

2. Límites en Cálculo laterales

Se escribe:

$\lim_{x \to a^-}f(x)=L$

y se dice que el límite izquierdo de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es igual a $L$, si se puede aproximar los valores de $f(x)$ a $L$ tanto como queramos, escogiendo una $x$ lo bastante cerca de $a$ pero menor que $a$. Similarmente el limite

$\lim_{x \to a^+}f(x)=L$

pero en esta ocasión escogiendo una $x$ lo bastante cerca de $a$ pero mayor que $a$. A los anteriores límites se les conoce como límites laterales. Como consecuencia de sus definiciones se tiene que:

$\lim_{x \to a}f(x)=L \text{ si y sólo si } \lim_{x \to a^-}f(x)=L \text{ y } \lim_{x \to a^+}f(x)=L$

3. Leyes de los Límites en Cálculo

Algunas leyes de límites ayudan al cálculo de los mismos, a continuación se presentan estas leyes. Suponiendo que $c$ es una constante y que $\lim_{x \to a}f(x)=L_1$ y $\lim_{x \to a}f(x)=L_2$ existen entonces:

$\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)$

$\lim_{x \to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x \to a}f(x)-\lim_{x \to a}g(x)$

$\lim_{x \to a}(cf(x))=c\lim_{x \to a}f(x)$

$\lim_{x \to a}(f(x)g(x))=\lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)$

$\lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}\text{ si } \lim_{x \to a}f(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a}(f(x)^n)=(\lim_{x \to a}f(x))^n$

$\lim_{x \to a}c=c$

$\lim_{x \to a}x=a$

$\lim_{x \to a}x^n=a^n \text{ con }n\in\mathbb{Z}^+$

$\lim_{x \to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \to a}f(x)} \text{ con }n\in\mathbb{Z}^+$

4. Propiedad de sustitución

Si $f$ es un polinomio o una función racional y $a$ está en el dominio de $f$, entonces:

$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$

Otra importante y útil hecho acerca de los límites expresa que en ocasiones no se puede hallar el límite de una función, pero tal vez se pueda simplificar y hallar el límite de la función más sencilla, entonces Si $f(x)=g(x)$ cuando $x \ne a$ entonces $\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)$, en caso que exista el límite, esto sucede porque se considera el límite es cuando $x$ se aproxima a $a$ y no cuando $x$ en realidad es igual a $a$. Lo anterior permite simplificar una función y hallar el límite de la función más simple.

5. Teorema de la compresión

Antes de definir el teorema de la compresión, el cual es muy útil, consideremos el siguiente teorema:

Si $f(x) \leq g(x)$, cuando $x$ está cerca de $a$ (excepto posiblemente en $a$), y los límites de $f$ y $g$ existen cuando $x$ tiende a $a$:

$\lim_{x \to a}f(x) \leq \lim_{x \to a}g(x)$

El teorema de la compresión entonces plantea que:

Si $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$, cuando $x$ está cerca de $a$ (excepto posiblemente en $a$), y los límites de $f$ y $h$ existen cuando $x$ tiende a $a$ y son iguales, es decir:

$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L$

entonces:

$\lim_{x \to a}g(x)=L$

6. Continuidad de funciones

Una función $f$ es continua en un número $a$ si:

$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$

La anterior definición requiere dos hechos cosas:

  • $f(a)$ está definido, es decir,  $a\in\text{dominio de}f$
  • $\lim_{x\to a}f(x)$ existe, de modo que $f$ debe estar definida en un intervalo abierto que contenga $a$

De forma similar se puede alterar un poco la definición y decir que $f$ es continua desde la derecha en un número $a$ si:

$\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$

Y continua desde la izquierda en un número $a$ si:

$\lim_{x \to a^-}f(x)=f(a)$

La función $f$ es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo, entendiendo en los puntos extremos del intervalo que la función es continua desde la derecha o continua desde la izquierda.
Las discontinuidades de una función pueden darse por varios hechos como son:

  • Discontinuidad en el infinito, cuando la función presenta asíntotas verticales
  • Discontinuidad por salto, aquellas que son producto de por ejemplo funciones piso o techo
  • Discontinuidad removible, aquellas que pueden solventar redefiniendo la función.

7. Teoremas y propiedades de los Límites en Cálculo

Algunos resultados importantes de la continuidad de funciones se recopilan a continuación: Si $f$ y $g$ son continuas en $a$ y $c$ es una constante entonces:

  • $f+g$ es continua
  • $f−g$ es continua
  • $cf$ es continua
  • $fg$ es continua
  • $\frac{f}{g}$ si $g(a) \ne 0$ es continua
  • Cualquier polinomio es continuo en $\mathbb R$
  • Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida, es decir es continua en su dominio; sucede lo mismo con las funciones raíz, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logaritmos

Si $f$ es continua en $b$ y $\lim_{x \to a}g(x)=b$, entonces, $\lim_{x\to a}f(g(x))=f(b)$ en otras palabras:

$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$

Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$, entonces la función compuesta $f\circ g(x)=f(g(x))$ es continua en $a$


Finalmente se presenta el teorema del valor intermedio: suponga que $f$ es continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$ y sea $N$ cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$ donde $f(a) \ne f(b)$, entonces existe un número $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=N$

8. Límites en el infinito

Una función como $f(x)=\frac{1}{x^2}$ presenta comportamientos como el que se muestra en la siguiente gráfica:

Gráfico de función
Figura 2. Gráfico de función

Cuando la función se acerca a cero los valores se pueden hacer tan grandes como se desee. Lo anterior se representa como:

$\lim_{x \to a}f(x)=\infty$

Quiere decir que la función puede tomar valores arbitrariamente grandes (tan grandes como se quiera) eligiendo una $x$ lo suficientemente cercana a $a$ pero no igual a $a$

8.1. Asíntota vertical

La recta $x=a$ se conoce como asíntota vertical de la función $f(x)$ siempre y cuando se cumpla por lo menos una de las siguientes proposiciones:

  • $\lim_{x \to a}f(x)=\infty$
  • $\lim_{x \to a^-}f(x)=\infty$
  • $\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty$
  • $\lim_{x \to a}f(x)=-\infty$
  • $\lim_{x \to a^-}f(x)=-\infty$
  • $\lim_{x \to a^+}f(x)=-\infty$

Otro caso importante de estudio consiste en la función 

$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$

 En esta función conforme los valores de $x$ crecen más (positiva y negativamente) el valor de la función se acerca más a $1$. Por lo tanto se puede expresar que:

$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-1}{x^2+1}=1$

De manera que sea una función $f$ definida en algún intervalo $(a,\infty )$ entonces:

$\lim_{x \to \infty}f(x)=L$

8.2. Asíntota horizontal

Se llama asíntota horizontal de $f(x)$ a la recta $y=L$ siempre y cuando se cumpla alguna de las siguientes proposiciones:

  • $\lim_{x \to \infty}f(x)=L$
  • $\lim_{x \to -\infty}f(x)=L$

9. Resultados importantes

Algunos resultados importantes que se obtienen en el estudio de límites en el infinito son los siguientes:

  • $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n}=0$
  • $\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x^n}=0$
  • $\lim_{x \to -\infty}e^x=0$ También es cierto para cualquier base $a$ con $a>0$

10. Regla de L’Hopital

Esta regla permite calcular límites de forma fácil y para ello se hace uso de la derivación. La regla funciona para las siguientes formas indeterminadas, es decir límites que arrojan resultados como: $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ o $0 \cdot \infty$ o $\infty – \infty$ o $0^0$ o $\infty^\infty$ o $1^\infty$

La regla afirma que: suponga que $f$ y $g$ son derivables y que $g'(x) \ne 0$ cerca de $a$ excepto quizás en $a$, suponga que:

$\lim_{x \to a}f(x)=0 \text{ y }\lim_{x \to a}g(x)=0$

o que

$\lim_{x \to a}f(x)=\pm\infty \text{ y }\lim_{x \to a}g(x)=\pm\infty$

En otras palabras se tiene la forma indeterminada $\frac{0}{0}` o `\frac{\infty}{\infty}$ entonces:

$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x \to a}f'(x)}{\lim_{x \to a}g'(x)}$

En el caso de la forma indeterminada del producto puede llevarse a una de las formas indeterminadas expresadas en la regla de L’Hopital si se recurre a la siguiente modificación:

$fg=\frac{f}{\frac{1}{g}}$

En el caso de las diferencias indeterminadas, también se debe recurrir alguna modificación, por ejemplo sacando algún factor común o racionalizando de manera que la forma indeterminada quede expresada en término de la regla de L’Hopital. Finalmente, para el caso de las potencias indeterminadas puede recurrir al logaritmo natural de manera que se lleve a un producto indeterminado, se proceda calculando el límite y finalmente tomando el exponencial del resultado.

13. Artículos de Interés

Funciones Matemáticas

En estas páginas encontraras el material necesario para comprender las diferentes Funciones Matemáticas, además de un catalogo completo con sus correspondientes usos y aplicaciones.

Si quieres revisar temas básicos de matemáticas antes de continuar te invitamos a dar Clic aquí y explorar las operaciones básicas en matemáticas.

1. Generalidades de las funciones

Las funciones aparecen cuando existen cantidades que dependen unas de las otras, normalmente se ha definido una función como una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto $A$ exactamente un elemento llamado $f(x)$f de otro conjunto $B$. En este punto tenemos algunas definiciones convenientes que realizar en el manejo de las funciones:

  • Dominio: este concepto corresponde al mismo conjunto $A$
  • Rango: este concepto corresponde al mismo conjunto $B$
  • Variable independiente: variable que representa un elemento arbitrario del conjunto $A$ (dominio)
  • Variable dependiente: variable que representa un elemento en el rango de $f$

Las funciones matemáticas se pueden representar de distintas maneras incluyendo:

  • Verbalmente (usando una descripción en prosa), numéricamente (con una tabla de valores)
  • Visualmente (con una gráfica) o algebraicamente (con una fórmula o ecuación).

La última es la forma más habitual y conveniente para expresar funciones, así mismo se puede visualizar la función recurriendo a la visualización como regla de asignación entre conjuntos, más formalmente tendríamos que si $f$ es una función cuyo dominio es $A$ su gráfica son las parejas ordenadas

$\{(x,f(x))x \in A\}$

Y su correspondiente diagrama de flechas es como el de la figura 1.

Diagrama de flechas para funciones
Figura 1. Diagrama de flechas para funciones

1.1. Prueba de recta vertical

Ahora bien, es importante notar que la definición de función implica que la asignación del conjunto del dominio al conjunto del rango, no realice asignaciones de forma tal que un mismo elemento del dominio asigne dos valores diferentes del rango, gráficamente esto se puede ver fácilmente mediante la Prueba de la recta vertical de tal manera que si se traza una línea vertical en el gráfico de una función esta corte la gráfica en un solo punto. De tal manera, la gráfica 2 corresponde a una parabola pero no a una función.

Gráfico de una curva que no es función
Figura 2. Gráfico de una curva que no es función

1.2. Funciones por secciones

Otra forma de definir funciones es utilizando la definición de funciones matemáticas por secciones, de estas funciones la más conocida es la función valor absoluto, la cual se muestra en la figura 3. De esta forma se puede definir funciones de una manera muy flexible, por ejemplo la función escalón es una de ellas.

Función valor absoluto
Figura 3. Función valor absoluto

1.1. Simetría 

Existen dos tipos de simetría para las Funciones Matemáticas, la simetría par y la simetría impar. La primera es cuando se cumple la condición f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) y la segunda f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), gráficamente se pueden observar estas simetrías siendo la simetría par una simetría respecto al eje yy en una gráfica en el plano cartesiano y la simetría impar una simetría respecto al origen en el plano cartesiano, las figuras 4 y 5 muestras estas simetrías respectivamente.

Simetría par
Figura 4. Simetría par
Simetría impar
Figura 5. Simetría impar

1.2. Funciones Matemáticas crecientes y decrecientes 

Estas dos definiciones permiten ver el comportamiento de una función en un intervalo del dominio II, de tal manera que una función es

  • Creciente: si se cumple que $f(x_1) \lt f(x_2)$ siempre que $x_1 \lt x_2$ en $I$
  • Decreciente: si se cumple que $f(x_1) \gt f(x_2)$ siempre que $x_1 \gt x_2$ en $I$

Las gráficas 6 y 7 muestran respectivamente funciones crecientes y decrecientes.

Función creciente
Figura 6. Función creciente
Función decreciente
Figura 7. Función decreciente

2. Transformación de Funciones

Las transformaciones de Funciones Matemáticas son muy útiles, puesto que permiten construir funciones que a primera mano parecen muy complejas usando funciones básicas, lo anterior ayuda a imaginarnos las gráficas de las funciones con las que se trabaja fácilmente.

2.1. Desplazamientos verticales y horizontales 

A continuación se listan los diferentes desplazamientos que se pueden realizar partiendo de una constante $c \gt 0$ y la función $y=f(x)$

  • Hacia abajo: $y=f(x)−c$
  • Hacia arriba: $y=f(x)+c$
  • Hacia la izquierda: $y=f(x+c)$
  • Hacia la derecha: $y=f(x−c)$

2.2. Alargamientos y reflexiones 

A continuación se listan los diferentes operaciones de alargamiento y compresión que se pueden realizar partiendo de una constante $c \gt 1$ y la función $y=f(x)$

  • Alargamiento vertical: $y=cf(x)$
  • Compresión vertical: $y=(\frac{1}{c})f(x)$
  • Compresión horizontal: $y=f(cx)$
  • Alargamiento vertical: $y=f(\frac{x}{c})$
  • Reflexión respecto a x: $y=−f(x)$
  • Reflexión respecto a y: $y=f(−x)$

2.3. Algebra de funciones 

Las funciones se pueden operar usando los operadores algebraicos tradicionales para obtener nuevas funciones, de forma similar existe una operación llamada composición de funciones estas operaciones se muestran a continuación para las funciones $f(x)$ y $g(x)$

  • Suma de funciones: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ dominio $A \cap B$
  • Resta de funciones: $(f−g)(x)=f(x)−g(x)$ dominio $A \cap B$
  • Multiplicación de funciones: $(fg)(x)=f(x)g(x)$ dominio $A \cap B$
  • División de funciones: $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ dominio ${x \in A \cap B | g(x) \ne 0}$
  • Composición de funciones: $f(u)=f(g(x))$ que también se escribe como $(f \circ g)(x)=f(g(x))$

3. Curvas paramétricas

En ocasiones las funciones pueden escribirse en términos de sus componentes en los ejes $x$ e $y$, para ellos se expresan en dos ecuaciones como sigue:

$x=f(t) \text{ ; } y=g(t)$

La variable $t$ se conoce como parámetro. Es importante notar que estas expresiones pueden dar lugar a un concepto más general que el de función debido a que si se despeja $t$ en las ecuaciones anteriores y se igualan el resultado puede no superar la prueba de la línea vertical y como consecuencia obtener una relación, para ello se utiliza el término más general curva. Considere como ejemplo el caso de las curvas paramétricas de un círculo de centro $(h,k)$ y radio $r$:

$x=h+r\sin(t) \text{ ; } y=k+r\cos(t)$

4. Funciones inversas

Antes de definir la función inversa, definamos una función uno a uno (ver correspondencia de funciones) como aquella función que nunca adopta el mismo valor dos veces:

$f(x_1) \ne f(x_2) \text{ siempre que } x_1 \neq x_2$

Otra forma de definir si una función es uno a uno es a través de la prueba de la recta horizontal, en este sentido una recta horizontal trazada sobre la gráfica de la función solamente la puede cortar una sola vez. Se define la función inversa siendo $f$ una función uno a uno con dominio $A$ y rango $B$, luego la función inversa $f^{−1}$ tiene rango $A$ y dominio $B$ y se define mediante:

$f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y$

La función inversa implica las siguientes expresiones:

$f^{-1}(f(x))=x \text{ ; }\forall x \in A$

$f(f^{-1}(x))=x \text{ ; }\forall x \in B$

Para hallar la función inversa se debe resolver a xx en término de yy siempre y cuando sea posible.

5. Correspondencia de funciones

A continuación se estudia las principales correspondencias de funciones, como son: unívoca, biunívoca, inyectiva, biyectiva, sobreyectiva; las primeras correspondencias entre funciones (unívoca, biunívoca) tratan los conceptos más generales aplicados a conjuntos, pero también pueden entenderse desde el punto de vista de las funciones y en este caso las correspondencias se denominan aplicaciones, teniendo los casos inyectiva, biyectiva y sobreyectiva que se resumen a continuación. Considere $A$ el dominio de una función $f$ cuyo rango es $B$

5.1. Funciones inyectivas

Una función es inyectiva si a elementos diferentes del dominio asigna elementos diferentes del rango, formalmente las funciones inyectivas se definen como:

$a\text{ , }a’ \in A\text{ y }a \neq a’\text{ entonces }f(a) \neq f(a’)$

5.2. Funciones sobreyectivas

Las funciones sobreyectivas también son denominadas funciones suprayectivas, epiyectivas, suryectiva, exhaustiva o subyectivas y se definen como aquellas funciones que para todo número en el rango tienen un correspondiente valor en el dominio, formalmente se define como:

$\forall b \in B \text{ } \exists \text{ } a \in A \text{ con }f(a)=b$

La función también puede ser no sobreyectiva si la anterior premisa no se cumple.

6.3. Funciones biyectivas

Estas funciones también se denominan uno a uno, y son aquellas que son inyectivas y sobreyectivas al mismo tiempo.

6. Artículos de Interés

Geometría Vectorial

La Geometría Vectorial es muy utilizada cuando se inicia el estudio del Álgebra Lineal o en el cálculo, que de hecho existe una rama llamada Cálculo Vectorial muy útil para temas en física como electromagnetismo. Esperamos que esta página sirva de referencia y estudio.

Si quieres avanzar al mundo del cálculo te invitamos a dar Click en este enlace.

1. Vectores

Un vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza por tener magnitud y dirección. También podemos definir un vector como una cantidad que tiene magnitud y dirección.Todos los vectores que tengan la misma magnitud y dirección se denominan equivalentes sin importar su punto inicial. Note que un segmento de recta dirigido se puede caracterizar dando su punto inicial y final. El segmento de recta se puede representar geométricamente como:

$\overrightarrow{PQ}$

y algebraicamente como $\mathbf v$. El vector de forma algebraica se suele representar con su punto inicial situado en el origen $\overrightarrow{OR}$ de tal forma que estaría especificado por sus coordenadas $(a,b)$, a estos números se les llama elementos o componentes del vector. Nota: la definición anterior aplica a las coordenadas $(x,y)$ en el plano. El vector cero denotado como $\mathbf 0$ es el único vector que no tiene una dirección específica.

2. Magnitud y dirección

En Geometría Vectorial la magnitud y dirección de un vector se pueden calcular fácilmente para vectores en el plano usando las siguientes relaciones geométricas:

$\text{magnitud de } \mathbf v=|\mathbf v|=\sqrt{a^2+b^2}$

$\text{dirección de } \mathbf v=\tan(\theta)=\frac{a}{b}$

3. Operaciones con vectores

A continuación se muestran las operaciones más habituales con vectores, para ello consideremos $\mathbf v$, $\mathbf u$ y $\alpha$ dos vectores y un escalar respectivamente.

  • Multiplicación por un escalar: al multiplicar por un escalar la magnitud del vector se multiplica por el valor absoluto del escalar, así: $\alpha \mathbf v=(\alpha a, \alpha b)=| \alpha || \mathbf v |$. En cuanto a la dirección si $\alpha$ es positivo se conserva sin cambios y si $\alpha$ es negativo esta se ve incrementada en $\pi$. Lo anterior conlleva a que dos vectores sean paralelos si uno es múltiplo escalar del otro.
  • Suma de dos vectores: la suma de dos vectores es: $\mathbf v + \mathbf u = (a_1+a_2,b_1+b_2)$
  • Resta de dos vectores: la resta de dos vectores es: $\mathbf v – \mathbf u = (a_1-a_2,b_1-b_2)$

Gráficamente estas operaciones se pueden representar como se ilustra en la siguiente figura:

Suma y resta de vecores
Figura 1. Suma y resta de vectores

Desigualdad del triangulo Esta es una desigualdad muy utilizada y común en el estudio de las matemáticas y establece lo siguiente en cuanto a los vectores:

$|\mathbf{u+v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}|$

4. Vectores en el espacio y representaciones

Aunque muchos de los conceptos aplicados a $\mathbb R^2$ aplican igualmente a $\mathbb R^3$ como son: suma, multiplicación por escalar, vector unitario, y ángulo entre vectores, se detallarán algunas de las operaciones más relevantes. En este caso los puntos en el espacio están determinados por tres coordenadas respecto a los ejes coordenados $x$, $y$ y $z$, así $(a,b,c)$, de tal forma que un vector $\overrightarrow{PQ}$ tiene una magnitud que se puede calcular con la fórmula de distancia más general:

$\overline{PQ}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

De manera similar la suma y multiplicación por un escalar están dados como sigue:

$\mathbf u \pm \mathbf v=(x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$

$\alpha \mathbf u=(\alpha x_1, \alpha y_1, \alpha z_1)$

Las siguientes son las operaciones y propiedades que tienen los vectores, siendo $\mathbf a$ y $\mathbf b$ vectores y $c$ y $d$ escalares:

  • Suma y resta: se usa la ley del triángulo o la ley del paralelogramo
  • Multiplicación por un escalar: escala el tamaño del vector, en caso que el escalar sea un número negativo el vector cambia de dirección y presenta un desfase de 180º
  • $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$
  • $\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}$
  • $c(\mathbf{a}+\mathbf{b})= c\mathbf{a} +c \mathbf{b}$
  • $(cd)\mathbf{a}=c(d\mathbf{a})$
  • $\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})=(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}$
  • $\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}$
  • $(c+d)\mathbf{a}=c\mathbf{a}+d\mathbf{a}$
  • $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$

Un vector que tenga su punto inicial en el origen y el punto final sea $P$ se llama vector posición del punto $P$. Es importante tener en cuenta que como un vector se define por su magnitud y dirección bien sea en el plano bidimensional o en el espacio tridimensional, no importa el punto de origen, es decir un mismo vector puede tener muchas representaciones simplemente cambiando su punto de origen, por ello se denota:

$\mathbf{a}=\lt a_1,a_2 \gt$

Al vector posición cuyo punto final es $P(a1,a2)$ por lo tanto es importante distinguir el punto final, del vector posición de ese punto. Ahora bien, dado los puntos $A(x1,y1,z1)$ y $B(x2,y2,z3)$ el vector $\mathbf a$ con representación $\overrightarrow {AB}$ es:

$\mathbf{a}=\lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1 \gt$

La longitud o magnitud de un vector $\mathbf{a}=\lt a_1,a_2 \gt$ se puede calcular con la fórmula de la distancia:

$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Y algebraicamente se puede definir la suma (análogamente la resta) de los vectores y la multiplicación por un escalar como sigue:

$\lt a_1,a_2,a_3 \gt + \lt b_1,b_2,b_3 \gt = \lt a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3 \gt$

$c \lt a_1,a_2,a_3 \gt = \lt ca_1,ca_2,ca_3 \gt$

Podemos escribir los siguientes tres vectores en el espacio, los cuales son muy útiles puesto que permiten representar cualquier vector como combinación lineal de ellos, es decir, estos vectores forman una base para el espacio. Estos vectores son los siguientes:

$\mathbf{i}= \lt 1,0,0 \gt$

$\mathbf{j}= \lt 0,1,0 \gt$

$\mathbf{k}= \lt 0,0,1 \gt$

Estos son los denominados vectores básicos canónicos. Es importante notar que estos vectores son unitarios, es decir su magnitud es la unidad. El vector unitario que tiene la misma dirección que $\mathbf a$ que se denominará $\mathbf u$ se puede calcular como:

$\mathbf{u}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$

5. Dirección de un vector

La dirección de un vector está dada por la dirección del vector unitario correspondiente. Adicionalmente se puede calcular los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados, en este caso con $x$, $y$ y $z$; para tal fin se definen respectivamente los ángulos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, las siguientes relaciones permiten calcular estos ángulos:

$\cos \alpha=\frac{x_0}{|\mathbf v|} \text{ } \cos \beta=\frac{y_0}{|\mathbf v|} \text{ } \cos \gamma=\frac{z_0}{|\mathbf v|}$

Es importante advertir la siguiente relación:

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$

Estos cosenos se denominan cosenos directores y de forma análoga para el vector $\mathbf v=(a,b,c)$ siempre y cuando $|\mathbf v|≠1$ los números $a$, $b$, $c$ se denominan números directores del vector.

6. Vectores unitarios

Dos vectores muy importantes son los vectores $\mathbf i$ y $\mathbf j$, estos vectores de magnitud uno apuntan en dirección de los ejes coordenados $x$ e $y$ respectivamente, en terminología de álgebra lineal estos vectores son linealmente independientes que forman una base para $\mathbb R^2$. Estos vectores son muy útiles porque permiten escribir otros vectores en términos de sus componentes horizontales y verticales como lo muestra la siguiente expresión:

$\mathbf v = a \mathbf i + b \mathbf j$

Definamos vector unitario como aquel vector que tiene longitud 1, se puede escribir por tanto de las siguiente forma:

$\mathbf u = (\cos\theta)\mathbf i + (\sin\theta)\mathbf j=\frac{\mathbf v}{|\mathbf v|}$

7. Producto escalar y proyecciones

El producto escalar entre dos vectores se define como:

$\mathbf u \cdot \mathbf v = a_1a_2+b_1b_2$

Note que el resultado del producto escalar es un número y está denotado con un punto. Así mismo es necesario definir el ángulo entre dos vectores como el ángulo no negativo más pequeño entre las representaciones de los vectores teniendo ambos el mismo punto de origen, el ángulo entre los vectores se denota como $\varphi$. Como consecuencia del producto vectorial nos podemos encontrar con los siguientes resultados:

$|\mathbf v|^2=\mathbf v \cdot \mathbf v$

Siendo $\varphi$ el ángulo entre vectores:

$\cos \varphi = \frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{|\mathbf u||\mathbf v|}$

De tal forma que el producto escalar también se puede expresar en términos del ángulo entre vectores, así:

$\mathbf v \cdot \mathbf v=|\mathbf u||\mathbf v|\cos \varphi$

8. Vectores paralelos

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o 180º. Dos vectores paralelos pueden tener la misma dirección o direcciones opuestas. De esta forma dos vectores $\mathbf u$ y $\mathbf v$ son paralelos implica que $\mathbf v = \alpha \mathbf u$ para alguna constante $\alpha$ y siempre y cuando ambos vectores sean diferentes de cero.

9. Vectores ortogonales

Dos vectores $\mathbf u$ y $\mathbf v$ son ortogonales siempre y cuando sean diferentes de cero, y el ángulo entre ellos sea cero, lo anterior implica que si son ortogonales se cumple que:

$\mathbf u \cdot \mathbf v = 0$

10. Proyección

Las proyecciones vectoriales son muy útiles en diversos cálculos. Para poder derivar el resultado de una proyección vectorial se debe partir del siguiente resultado:

$\mathbf w=\mathbf u-\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{|\mathbf v|^2}\mathbf v$

Donde $\mathbf u$ y $\mathbf v$  son vectores cualesquiera y el vector$\mathbf w$  resultante es ortogonal a $\mathbf v$  De esta forma para los vectores $\mathbf u$  y $\mathbf v$  la proyección de $\mathbf u$  sobre $\mathbf v$  es el vector denotado por $proy_{\mathbf v}\mathbf u$ y definido como:

$proy_{\mathbf v}\mathbf u=\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{|\mathbf v|^2}\mathbf v$

La componente de $\mathbf u$ en dirección de $\mathbf v$ es:

\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{|\mathbf v|^2}

y $c$ es un escalar. La siguiente imagen ilustra esta operación de proyección.

Proyección vectorial
Figura 2. Proyección vectorial

11. Producto punto o producto escalar

La definición de producto escalar se amplía en este caso de la siguiente manera:

$\mathbf u \cdot \mathbf v = a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=|\mathbf u||\mathbf v|\cos \varphi$

Las propiedades del producto punto se resumen a continuación. Siendo $\mathbf a$, $\mathbf b$ y $\mathbf c$ vectores en $V_3$ y $c$ un escalar:

  • $\mathbf a \cdot \mathbf a = | \mathbf a |^2$
  • $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf \cdot \mathbf a$
  • $\mathbf a \cdot (\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c$
  • $(c \mathbf a) \cdot \mathbf b = c (\mathbf a \cdot \mathbf b)$
  • $\mathbf 0 \cdot \mathbf a = 0$

De cualquier forma las relaciones vistas para el cálculo de proyecciones siguen siendo las mismas.

12. Producto cruz

Note que el producto punto o producto escalar no es cerrado bajo el dominio de los vectores, la operación que se definirá a continuación conocida como producto cruz o producto vectorial si es cerrada y su resultado es un vector perpendicular (ortogonal) a los dos vectores que hagan parte del producto, por esta razón el producto cruz no esta definido para $\mathbb R^2$. A continuación se presenta la definición:

$\mathbf u \times \mathbf v=(b_1c_1-c_1b_2)\mathbf i+(c_1a_2-a_1c_2)\mathbf j+(a_1b_1-b_1a_2)\mathbf k$

Donde $\mathbf i$, $\mathbf j$ y $\mathbf k$ son vectores unitarios en las direcciones positivas de los ejes coordenados. Alternativamente, teniendo presente que los vectores tengan componentes $\mathbf u = <a_1, a_2, a_3>$ y $\mathbf v = <b_1,b_2,b_3>$ se puede contar con una definición basada en determinantes, así:

$\mathbf u \times \mathbf v=\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

El resultado de este producto es un vector ortogonal a $\mathbf u$ y $\mathbf v$ cuya dirección está determinada por la regla de la mano derecha. Las propiedades del producto cruz se muestran a continuación. Sean $\mathbf u$, $\mathbf v$, $\mathbf w$ tres vectores en $\mathbb R^3$ y $\alpha$ un escalar entonces:\mathbf u \times \mathbf 0 = \mathbf 0 \times \mathbf u = \mathbf 0

  • $\mathbf u \times \mathbf v = -(\mathbf v \times \mathbf u)$
  • $\mathbf u \times \mathbf 0 = \mathbf 0 \times \mathbf u = \mathbf 0$
  • $\mathbf u \times \mathbf v = -(\mathbf v \times \mathbf u)$
  • $(\alpha \mathbf u) \times \mathbf v=\alpha(\mathbf u \times \mathbf v$
  • $\mathbf u \cdot (\mathbf u \times \mathbf v)=\mathbf v \cdot (\mathbf u \times \mathbf v)=0$
  • Si $\mathbf u$ y $\mathbf v$ son diferentes de cero serán paralelos si y sólo si $\mathbf u \times \mathbf v=\mathbf 0$

Otra relación útil para calcular el producto vectorial se obtiene con la siguiente expresión que permite calcular la magnitud del producto, teniendo en cuenta que la dirección es perpendicular a los vectores del producto y esta dada por la regla de la mano derecha:

$|\mathbf u \times \mathbf v|=|\mathbf u||\mathbf v|\sin\varphi$

Se puede interpretar la magnitud del vector resultante como el área del paralelogramo que tiene lados adyacentes $\mathbf u$ y $\mathbf v$. De forma similar la magnitud el triple producto escalar corresponde al área del paralelepipedo definido por los vectores $\mathbf u$, $\mathbf v$ y $\mathbf w$

13. Triples productos

Combinando las operaciones anteriores de productos punto y producto cruz podemos obtener relaciones interesantes como son el triple producto escalar y el triple producto vectorial.

El triple producto escalar para tres vectores $\mathbf a$, $\mathbf b$ y $\mathbf c$ es el siguiente:

$\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)$

Y en representación matricial se puede ver que su valor es el siguiente determinante:

$\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$

Una propiedad útil es la siguiente:

$(\mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)$

Su magnitud se puede interpretar como el volumen del paralelepipedo cuya base es el paralelograma definido por el producto cruz y su altura es la proyección del vector $\mathbf a$ sobre el vector resultante del producto cruz.

Por otra parte el triple producto vectorial se define como el producto cruz de los tres vectores, lo cual se puede expandir de la siguiente manera:

$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) = (\mathbf a \cdot \mathbf c) \mathbf b – (\mathbf a \cdot b) \mathbf c$

13. Artículos de Interés

Matrices en Álgebra Lineal

En esta página encontrarás un desglose rápido y útil de de los temas básicos y más utilizados para llegar a las Matrices en Álgebra Lineal y poder avanzar a temas más retadores en álgebra.

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1. Vectores, Matrices en Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

En el estudio de Las Matrices en Álgebra Lineal aparecen los vectores y las matrices, los primeros como un arreglo de números de una sola dimensión y los segundos como un arreglo de números de más de una dimensión.

1.1 Vectores

Vectores como los siguientes son denominados vectores fila y vectores columna respectivamente.

$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}$

Es importante anotar que un vector es un conjunto ordenado de elementos y cada una de sus posiciones también se denomina elemento o componente. Este arreglo de elementos puede tener un tamaño determinado y sirve para agrupar un conjunto de valores que están interrelacionados, existen muchas propiedades relevantes de los vectores y las operaciones comunes de aritmética también están disponibles con ellos.

Las componentes de los vectores pueden ser reales $\mathbb R$ o complejos $\mathbb C$ de tal manera un vector de $n$ componentes reales representa el espacio $\mathbb R^n$, así $\mathbb R^2$ se llaman vectores en el plano y $\mathbb R^3$ se llaman vectores en el espacio.

1.1.1. Producto vectorial

Este producto está definido por la combinación lineal de dos vectores, de manera que el resultado de esta operación es un valor escalar, dado por la sumatoria de la multiplicación de las correspondientes componentes, de manera que una multiplicación vectorial (o producto punto) de dos vectores es compatible solo si ambos componentes tienen igual tamaño. La combinación lineal está dada por la siguiente sumatoria

$\mathbf a\cdot\mathbf b=\sum_{i=1}^na_ib_i$

1.1.2. Propiedades de los vectores

$\mathbf a\cdot\mathbf 0=0$

$\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a$

$\mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c$

$(\alpha\mathbf a)\cdot\mathbf b=\alpha(\mathbf a\cdot\mathbf b)$

2. Matrices en Álgebra Lineal

Las Matrices en Álgebra Lineal aparecen, por ejemplo en el estudio de ecuaciones simultáneas, puede considerar para el ejemplo un sistema de ecuaciones de dos incógnitas con dos ecuaciones, que puede presentar los siguientes casos y a través de las siguientes ecuaciones:

$a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1$

$a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2$

Donde su correspondiente matriz de coeficientes es:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

1. Una única solución, las rectas se intersecan en un solo punto, como muestra la siguiente gráfica

Sistemas de ecuaciones única solución
Figura 1. Única solución

2. Las rectas nunca se intersecan, por lo tanto, no se tiene solución

Sistemas de ecuaciones sin solución
Figura 2. Sin solución

3. Las rectas coinciden en todos los puntos y, por lo tanto, se tienen infinitas soluciones

Sistemas de ecuaciones infinitas soluciones
Figura 3. Infinitas soluciones

Estos sistemas de ecuaciones se pueden representar a través de matrices como sigue:

$\mathbf A \cdot x=b$

Donde $\mathbf A$ es la matriz de coeficientes de las ecuaciones, $x$ es un vector columna con las variables y $b$ es el vector columna con los valores de los coeficientes independientes. Cuando el sistema genérico de $n$ ecuaciones con mm incógnitas no presenta ninguna solución se dice que es un sistema inconsistente, por otro lado, si tiene al menos una solución se dice que es un sistema consistente.

2.1. Producto matricial

Este producto es compatible entre dos Matrices en Álgebra Lineal siempre y cuando el número de columnas de la primera matriz sea el mismo número de filas de la segunda matriz. Esta multiplicación no es conmutativa y el resultado de multiplicar dos matrices $\mathbf A$ y $\mathbf B$ esta dado por:

$c_{ij}=(\text{reglón }i \text{ de } \mathbf A)\cdot(\text{columna }j \text{ de } \mathbf B)$

2.2. Propiedades de las matrices

$\mathbf A+\mathbf 0=\mathbf A$

$\mathbf 0\mathbf A=\mathbf 0$

$\mathbf A+\mathbf B=\mathbf B+\mathbf A$

$(\mathbf A+\mathbf B)+\mathbf C=\mathbf A+(\mathbf B+\mathbf C)$

$\alpha(\mathbf A+\mathbf B)=\alpha\mathbf A+\alpha\mathbf B$

$\mathbf I\mathbf A=\mathbf A$

$ (\alpha + \beta)\mathbf A=\alpha\mathbf A+\beta\mathbf A$

$ \mathbf A(\mathbf B\mathbf C)=(\mathbf A\mathbf B)\mathbf C$

$\mathbf A(\mathbf B+\mathbf C)=\mathbf A\mathbf B+\mathbf A\mathbf C$

$(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A\mathbf C+\mathbf B\mathbf C$

3. Artículos de Interés

Matemáticas Operativas

En esta página encontraras conceptos fundamentales de Matemáticas Operativas que incluyen relaciones básicas de trigonometría y algunos temas utilizados en situaciones más avanzadas como fracciones parciales.

Navega a este link para avanzar a temas de cálculo, los límites es un buen punto para iniciar.

1. Trigonometría

Algunas de las relaciones trigonométricas mas útiles en matemáticas operativas, relacionadas con las funciones trigonométricas básicas como el seno, el coseno y la tangente se listan a continuación:

$\sin\theta=\frac{1}{\csc\theta}\text{ ; }\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}\text{ ; }\tan\theta=\frac{1}{\cot\theta}$

Las relaciones en un triangulo rectángulo donde $h$ representa la hipotenusa, $co$ el cateto opuesto y $ca$ el cateto adyacente del ángulo $\theta$ están dadas por las siguientes relaciones

Triangulo rectángulo
Figura 1. Triangulo rectángulo

$\sin\theta=\frac{co}{h}\text{ ; }\cos\theta=\frac{ca}{h}\text{ ; }\tan\theta=\frac{co}{ca}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Algunas otras identidades trigonométricas útiles se muestran en el siguiente resumen.

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$

$\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta$

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha$

$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

$\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$

$\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

$\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

$\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$

$\cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

$\tan\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\csc\theta-\cot\theta=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

2. Ley de senos y cosenos

Dado el siguiente gráfico:

Leyes de senos y cosenos

Figura 2.
 Ley de senos y cosenos

La ley de senos establece que:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

La ley de cosenos establece que:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos c$

3. Logaritmos y exponenciales

Los logaritmos y exponenciales también hacen parte de las matemáticas operativas. Las siguientes son las leyes más representativas para el manejo de logaritmos y funciones exponenciales

$\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$

$\log_a(\frac{x}{y})=\log_a(x)-\log_a(y)$

$\log_a(x^r)=r\log_a(x)$

$\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$

$a^{x+y}=a^xa^y$

$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$

$(a^x)^y=a^{xy}$

$(ab)^x=a^xb^x$

Tenga presente que $\log_ex=\ln x$ siendo $e$ el número de Euler, para mayores detalles de logaritmos y exponenciales se puede dirigir a la sección de funciones.

4. Fracciones parciales

La expansión por fracciones parciales es una técnica muy útil para simplificar un cociente de polinomios como la combinación lineal de cocientes de polinomios más simples. Pueden analizarse la expansión en fracciones parciales utilizando los siguientes casos.

4.1. Caso 1

Caso en el cual el grado del numerador sea un grado más pequeño que el denominador. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:

$\frac{5x-4}{2x^2+x-1}$

Se pude expresar como:

$\frac{5x-4}{(x+1)(2x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}$

Donde $A$ y $B$ son constantes que se puede hallar al multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador factorizado para obtener:

$5x-4=A(2x-1)+B(x+1)$

$5x-4=(2A+B)x+(-A+B)$

Lo cual conduce a dos ecuaciones simultáneas: $5=2A+B$ y $-4=-A+B$ De allí se obtiene la solución y la expansión por fracciones parciales resulta ser:

$\frac{5x-4}{(x+1)(2x-1)}=\frac{3}{x+1}-\frac{1}{2x-1}$

4.2. Caso 2

Si el grado del numerador es mayor o igual que el denominador es necesario realizar la división de polinomios para luego aplicar las mismas consideraciones del caso 1.

4.3. Caso 3

Si el denominador tiene más de un factor lineal es necesario incluir un término correspondiente por cada factor. Por ejemplo:

$\frac{x+6}{x(x-3)(4x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{4x+5}$

Lo cual conduce a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones.

4.4. Caso 4

En el caso en que el denominador posea un factor cuadrático irreducible $ax^2+bx+c$ donde el discriminante $b^2-4ac$ sea negativo entonces la fracción parcial corresponde de la siguiente manera:

$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$

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