Derivadas en Cálculo

Esta página recopila todo el material necesario para abordar los conceptos de Derivadas en Cálculo, sus definiciones, reglas y usos. En estas secciones solo se considera el caso de derivadas en una sola variable.

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1. Tangentes y razones de cambio

1.1. Tangentes

En una curva se puede trazar una recta secante que corte la curva en dos puntos, así las cosas la pendiente de esta recta esta dada por:

$m_{P Q} = \frac{f (p) - f (q)}{p - q}$

En el caso en que el punto $P$ se haga acercar al punto $Q$ de forma que la recta se transforme en tangente (toque la curva en un solo punto) se tendrá el siguiente cálculo de la pendiente de la recta:

$m = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

Es importante advertir que este límite puede no existir en punto $x = a$ determinado. La siguiente gráfica ilustra ambas rectas:

**Figura 1.** Línea secante y tangente a una curva

La expresión para calcular la recta anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

$Sea h = x - a y x = a + h$

Entonces:

$m = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

1.2. Razones de cambio

Suponga que $y$ es una cantidad que depende de otra $x$ , Por tanto, $y = f (x)$ , Si $x$ cambia de $x_{1}$ a $x_{2}$ entonces se conoce como incremento a la cantidad representada por:

$Δ x = x_{1} - x_{2}$

Se llama razón promedio de cambio de $y$ con respecto a $x$ sobre el intervalo $[x 1, x 2]$ al cociente de las diferencias:

$razón promedio de cambio = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

Este se puede interpretar como la pendiente de la recta secante a $P Q$ . De forma similar, si se toma el límite de la expresión anterior se obtiene la razón instantánea de cambio de $y$ respecto a $x$ así:

$razón instantánea de cambio = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{x_{2} \to x_{1}} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

2. Derivadas

Tal como se vio en la sección anterior sobre el cálculo de pendientes de rectas tangentes, y usando ese resultado se define: La derivada de una función $f$ en un punto $a$ y denotada $f^{'} (a)$ como:

$f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Si el límite existe. Alternativamente se puede escribir:

$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

De esta forma la derivada puede interpretarse de las siguientes formas:

La pendiente de la recta tangente de la función $f$ en el punto $a$
La razón instantánea de cambio de $f (x)$ con respecto a $x$ cuando $x = a$

3. Derivada como una función

Si bien es posible calcular la derivada de una función en un punto determinado también se puede calcular en cualquier punto $x$ y de esta forma obtener una nueva función denominada derivada de $f$ , esta función está determinada por:

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

A continuación se muestra gráficamente una función (rojo) y su correspondiente derivada (azul). Es importante observar que cuando la gráfica de la función tiene pendiente cero, la gráfica de la derivada corta el eje $x$ .

Algunas notaciones alternativas para representar la deriva se muestran a continuación:

$f^{'} (x) = y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} f (x) = D f (x) = D_{X} f (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$

4. Funciones derivables y no derivables

Una función es derivable en $a$ si $f^{'} (a)$ existe, también puede ser derivable en un intervalo abierto o cerrado si es derivable en todo número perteneciente al intervalo.

Teorema Si $f$ es derivable en $a$ , $f$ es continua en $a$ , note que el recíproco de este teorema es falso, es decir que una función sea continua no implica que esta sea derivable. En general una función no es derivable cuando presenta picos, o su recta tangente tiene una pendiente infinita, veamos un caso y para ello trate de calcular la derivada de la función valor absoluto:

$f (x) = | x |$

Cuya gráfica se presenta a continuación:

**Figura 3.** Gráfica del valor absoluto

En este caso:

$f^{'} (x) = 1 si x > 0 y f^{'} (x) = - 1 si x < 0$

Por lo tanto, no se tiene una recta pendiente para esta función en $x = 0$ . En resumen una función no es derivable en un punto $a$ si:

El límite de la definición de derivada no existe
La función no es continua en un punto $a$
La gráfica presenta picos en el punto $a$
La función presenta pendiente vertical en el punto $a$

5. Derivadas superiores

Si $f$ es una función derivable, entonces su derivada $f^{'}$ también es una función, y, por lo tanto, $f^{'}$ puede tener una derivada que se denota como:

$(f^{'})^{'} = f ” = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$

Se llama segunda derivada de $f$ . De forma similar se puede extender el concepto a terceras derivadas o n-ésimas derivadas de una función.

6. Interpretación alternativa de las derivadas

La primera derivada expresa la pendiente de la curva $f (x)$ , por lo tanto, podemos concluir que:

Si la primera derivada es cero la función $f (x)$ tiene pendiente cero.
Si la primera derivada es positiva en un intervalo, $f (x)$ es creciente en ese intervalo.
Si la primera derivada es negativa en un intervalo, $f (x)$ es decreciente en ese intervalo.

La siguiente gráfica aclara este concepto:

Note que en los puntos marcados como $a$ y $b$ la pendiente de la función (primera derivada) es cero. La segunda derivada también aporta información importante acerca de $f (x)$

Si la segunda derivada es cero existe en ese punto, un punto de inflexión para $f (x)$ , es decir, un punto donde la concavidad de $f (x)$ cambia
Si la segunda derivada es positiva en un intervalo, la concavidad de $f (x)$ es hacia arriba en ese intervalo
Si la segunda derivada es negativa en un intervalo, la concavidad de $f (x)$ es hacia abajo en ese intervalo

La siguiente gráfica aclara este concepto:

Note que la segunda derivada indica si la primera derivada es creciente o decreciente.

7. Tangentes a curvas paramétricas

Si se tienen las ecuaciones de una curva paramétricas de la forma:

$x = f (t) y y = g (t)$

Donde el parámetro $t$ varía, se puede calcular la pendiente de esta curva sin necesidad de eliminar el parámetro $t$ con la siguiente aplicación de la regla de la cadena.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$

8. Derivación implícita

Algunas ecuaciones son imposibles de resolver en términos de $y$ , de forma que se puede hallar la derivada de una ecuación (como la de un círculo) sin necesidad de resolver la ecuación para $y$ derivando ambos lados de la ecuación y utilizando la regla de la cadena, este tipo de solución puede ahorrar mucho trabajo, pero es importante tener en cuenta la regla de la cadena.

9. Trayectorias ortogonales

Dos funciones (o familias de funciones) pueden ser ortogonales si en cada punto de intersección las pendientes de las rectas tangentes en esos puntos son perpendiculares. Recuerde que dos rectas son perpendiculares siempre y cuando sus pendientes multiplicadas den $- 1$

10. Aproximaciones lineales

En ocasiones es conveniente trabajar con aproximaciones de funciones en lugar de la función como tal, esto se puede hacer porque la recta tangente en un punto aa es muy similar a la función cerca del punto aa, Se conoce como linealización de $f$ en $a$ a la ecuación de la recta tangente en ese punto. La linealización de una curva $f$ en $a$ se denota como $L$ y se puede obtener así:

$L = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$