Las series y sucesiones son un tema muy importante en matemáticas de hecho permiten representar de una forma diferente funciones o números, en este artículo encontraras todo lo concerniente a Teoremas y Pruebas de Series en Cálculo a fin de poder determinar si las mismas convergen o divergen.
Si quieres aprender lo básico de series y sucesiones sigue este link.
1. Prueba de la convergencia
El primer Teorema de Series en Cálculo es el de la convergencia. Si la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ es convergente, entonces $\lim_{n\to\infty}{a_n}=0$
Nota: el inverso de este teorema por lo regular es falso. Hay que diferenciar en este punto del límite de las sumas parciales al límite de los términos, ambos son límites que se le pueden asociar a cualquier serie.
2. Prueba de la divergencia
Esta es la prueba que ayuda a determinar si una Serie en Cálculo converge y establece que Si $\lim_{n\to\infty}{a_n}$ no existe, o si $\lim_{n\to\infty}{a_n} \ne 0$, entonces la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ diverge
3. Convergencia de series
Si `\sum{a_n}` y `\sum{b_n}` son series convergentes, entonces también lo son las series: `\sum{ca_n}` (donde `c` es una constante), `\sum{(a_n+b_n)}`, `\sum{a_n-b_n}` y
- $\sum_{n=1}^{\infty}{ca_n}=c\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n+b_n)}=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}+\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$
- $\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n-b_n)}=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}-\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$
4. Prueba de la integral
Suponga que $f$ es una función continua, positiva y decreciente en $[1,\infty)$ y sea $a_n=f(n)$. Entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente si y sólo si la integral impropia $\int_1^\infty f(x)dx$ es convergente. En resumen:
- Si $\int_1^\infty f(x)dx$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente.
- Si $\int_1^\infty f(x)dx$ es divergente, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente.
Un resultado importante al aplicar la prueba de la integral es el siguiente:
Si la serie $p$, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ es convergente si $p>1$ y diverge cuando $p \le 1$.
5. Prueba de la comparación
Suponga que $\sum a_n$ y $\sum b_n$ son series con términos positivos.
- Si $\sum bn$ es convergente y $a_n \le b_n$ para toda $n$, entonces $\sum a_n$ también converge.
- Si $\sum bn$ es divergente y $a_n \ge b_n$ para toda $n$, entonces $\sum a_n$ también diverge.
6. Prueba de comparación de límites
Suponga que $\sum a_n$ y $\sum b_n$ son series con términos positivos. Si
$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=c$
Donde $c$ es un número finito y $c>0$, entonces ambas series convergen o divergen.
7. Estimado del residuo para la prueba de la integral
Suponga que $f(x)=a_k$, donde $f$ es una función decreciente, continua y positiva para $x \ge n$ y $\sum a_n$, converge. Si $R_n=s-s_n$, entonces:
$\int_{n+1}^{\infty}f(x)dx \le R_n \le \int_{n}^{\infty}f(x)dx$
De donde se obtiene inmediatamente:
$s_n+\int_{n+1}^{\infty}f(x)dx \le s \le s_n+\int_{n}^{\infty}f(x)dx$
8. Prueba de la serie alternante
Si la serie alternante
$\sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n-1}b_n}\text{ con }(b_n>0)$
Satisface:
- $b_{n+1} \le b_n$
- $\lim_{n\to \infty}b_n=0$
Entonces la serie converge.
9. Teorema de estimación de la serie alternante
Si $s=\sum(-1)^{n-1}b_n$ es la suma de una serie alternante que satisface:
- $b_{n+1} \le b_n$
- $\lim_{n\to \infty}b_n=0$
Entonces:
$|R_n|=|s-s_n| \le b_n+1$
10. Convergencia absoluta
La serie $\sum a_n$ es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos $\sum |a_n|$ converge.
Si una serie $\sum a_n$ es absolutamente convergente, entonces es convergente.
11. Prueba de la razón
Si $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n-1}}{a_n}|=L<1$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty{a_n}$ es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente.
Si $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n-1}}{a_n}|=L>1$ o $\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n-1}}{a_n}|=\infty$ entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty{a_n}$ es divergente.
Si $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n-1}}{a_n}|=L=1$, entonces la prueba de la razón no es concluyente.
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