Rectas y Planos en Geometría

En el estudio de cualquier disciplina matemática un tema que es fundamental es comprender las bases geométricas que nos permiten trasladar lo que imaginamos al mundo real de lo que vemos y palpamos, en esta sección se explora las diferentes representaciones de las Rectas y Planos en Geometría.

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1. Rectas

Para las Recta en Geometría en el espacio se tiene la siguiente ecuación vectorial:

$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf{v}$

Donde el vector $\mathbf{v}$ es un vector paralelo a $\overrightarrow{PR}$. Extendiendo los componentes se puede obtener las siguientes relaciones denominadas ecuaciones paramétricas de la recta:

$x=x_1+t(x_2-x_1)$

$y=y_1+t(y_2-y_1)$

$z=z_1+t(z_2-z_1)$

Si se despeja $t$ en las ecuaciones anteriores y se igualan definiendo $a=x_2-x_1$, $b=y_2-y_1$ y $c=z_2-z_1$ se obtienen las llamadas ecuaciones simétricas de la recta:

$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$

Tenga en cuenta que las ecuaciones paramétricas o simétricas de una recta no son únicas.

2. Planos

Los Rectas y Planos en Geometría se pueden definir de forma vectorial, para el caso de planos una forma es la siguiente: sea $P$ un punto y $\mathbf{n}$ un vector dado diferente de cero, el conjunto de puntos $Q$ que cumplen

$\overrightarrow{PQ}\cdot \mathbf{n}=0$

se conoce como plano. Las siguientes ecuaciones son las ecuaciones cartesianas de un plano:

$ax+by+cz=d$

$\text{donde }d=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0=\overrightarrow{OP}\cdot \mathbf{n}$

En estas ecuaciones los números $a$, $b$ y $c$ son las componentes del vector $\mathbf{n}$ normal al plano y los números $x_0$, $y_0$ y $z_0$ son los coordenadas del punto $P$. Finalmente una definición útil es que dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son, es decir si el producto cruz de los vectores normales es cero.

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