Luego de estudiar las derivadas en una sola variable y en general el cálculo en una sola variables, la extensión natural surge cuando consideramos funciones de más de una variable y por lo tanto también aparece la posibilidad de obtener Derivadas Parciales en Varias Variables, las consideraciones más importantes se recopilan en este post.
Para aprender derivadas en una sola variable sigue este link.
1. Funciones varias variables
Las funciones de dos variables se representan como superficies en el espacio tridimensional y depende de dos variables. El dominio y el rango de estas funciones es similar al caso de funciones de una sola variable.
Alternativamente, las funciones de dos variables se pueden representar como curvas en el plano usando las denominadas curvas de nivel que son aquellas curvas para las cuales las funciones de dos variables asumen el mismo valor, esta aproximación es bastante usada en cartografía. Las curvas de nivel están dadas por:
$f(x,y)=k$
También pueden existir funciones de más de dos variables en cuyo caso no se puede obtener una representación gráfica, a lo sumo se puede obtener superficies de nivel y dibujar estas superficies en el espacio tridimensional.
2. Límites y Continuidad
En el caso de varias variables se puede expresar:
$\lim_{(x,y)\to {(a,b)}} f(x,y)=L$
Entonces podemos acercar el valor del límite a $L$ tanto como queramos, acercado lo suficiente $(x,y)$ a $(a,b)$ pero sin que sean iguales.
En el caso de varias variables hay una diferencia con una sola variable y es que para aproximarnos a un punto en el caso de una sola variable solo habían dos opciones o por la izquierda o por la derecha, sin embargo en el caso de varias variables tenemos infinitas opciones o trayectorias, un límite no existe si los valores de los límites por trayectorias diferentes difieren. Dado que no es posible demostrar que un límite exista para todas las trayectorias, se pueden usar alternativas como el teorema del emparedado para demostrar la existencia de estos límites.
Adicionalmente, si el límite existe en un punto $(a,b)$ se dice que la función es continua. Hay que tener presente que la función también puede ser continua en todo el dominio o un subconjunto del dominio.
3. Derivadas parciales
Para realizar una derivada parcial de una función $f(x,y)$ respecto de $x$ simplemente se debe derivar siguiendo las mismas reglas del caso de una variable y tomando $y$ como constante, en este caso se encontrará la pendiente de la superficie y el plano reticular $x$. Similarmente se puede realizar la derivada parcial respecto a $y$.
Para representar la derivada parcial de $x$ se puede usar las siguientes notaciones
$f_x(x,y)=f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=f_1=D_1f=D_xf$
En el caso de más de dos variables la derivada parcial opera en la misma forma que este caso, se toma la variable respecto de la cual se desea derivar y se dejan fijas el resto de variables.
También es posible realizar derivadas de orden superior simplemente tomando la derivada correspondiente del resultado previo de derivar. Las derivadas de orden superior se pueden escribir así:
$(f_x)_x=f_{xx}=f_{11}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$
Cuando aparecen las derivadas de orden superior o segundas derivadas es posible que nos encontremos con las diferentes combinaciones de derivación entre las variables $x$ y $y$, por ejemplo, aquí se muestra la derivada cruzada primero derivando en $x$ y luego en $y$
$(f_x)_y=f_{xy}=f_{12}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}$
3.1. Teorema de Clairaut
Este teorema establece una igualdad entre las derivadas cruzadas, siendo $f$ una función continua en un disco $D$ entonces se cumple que:
$f_{xy}=f_{yx}$
3.2. Regla de la cadena en varias variables
La regla de la cadena en varias variables se puede escribir con los siguientes dos casos:
Caso 1:
Una función $z=f(x,y)$ es una función diferenciable de $x$ y $y$, donde $x=g(t)$ y $y=h(t)$ son funciones diferenciables de $t$ Entonces $z$ es una función diferenciable de $t$:
$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$
Caso 2:
Sea la función $z=f(x,y)$ es una función diferenciable de $x$ y $y$ donde $x=g(s,t)$ y $y=h(s,t)$ son funciones diferenciables de $s$ y $t$:
$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$
$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$
3.3. Diferenciación implícita
La regla de la cadena permite obtener ecuaciones sencillas para derivadas complejas, se puede obtener la derivada de $y$ respecto a $x$ usando
$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$
4. Aproximaciones lineales
En el cálculo de una variable una de las ideas más importantes es que a medida que nos acercamos a un punto la gráfica se parece cada vez más a una línea recta lo cual permite obtener simplificaciones de funciones alrededor de ese punto. En el cálculo de varias variables sucede lo mismo, excepto que la aproximación esta dada por un plano tangente y no por una recta.
Si $f$ tiene derivadas parciales continuas, una ecuación del plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $P_0$ es:
$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
A $z$ en la ecuación anterior se le conoce como linealización o aproximación lineal o plano tangente de aproximación de la función $f$.
De la linealización se puede obtener que:
Si las derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ existen cerca de $(a,b)$ y son continuas en $(a,b)$ entonces $f$ es diferenciable en $(a,b)$
4.1 Planos tangentes y superficies paramétricas
En el caso que la función (superficie) sea descrita por sus ecuaciones paramétricas:
$\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i+ y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k$
en el punto $P_0$ dado por $\mathbf r(u_0,v_0)$ se puede obtener dos vectores tangentes a este punto usando derivadas parciales
Con $\mathbf r(u_o,v)$
$\mathbf r_v=\frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0)\mathbf i + \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0)\mathbf j + \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0)\mathbf k$
Con $\mathbf r(u,v_0)$
$\mathbf r_v=\frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0)\mathbf i + \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0)\mathbf j + \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0)\mathbf k$
Si $\mathbf r_u \times \mathbf r_v$ no es \mathbf 0$ se dice que la superficie es suave y un plano tangente contiene estos dos vecores.
5. Derivadas direccionales y Vector gradiente
Hasta el momento las derivadas parciales han sido respecto a una de las variables independientes de la función. Es posible calcular la derivada en cualquier dirección, no solamente en las direcciones de $x$ o $y$ para ello es necesario contar con el vector unitario que da la dirección en la cual queremos calcular la derivada $\mathbf u = $. En este caso se obtendra la pendiente de la superficie cortada por la reticula en la dirección del vector.
Para calcular la derivada direccional se puede realizar con la siguiente fórmula:
$D_uf(x,y)=f_x(x,y)a+f_y(x,y)b$
El vector gradiente, es un vector especial y muy utilizado en cálculo vectorial y se define como:
$\nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf i + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf j$
Con esta notación podemos reescribir la derivada direccional usando el vector gradiente el producto punto:
$D_uf(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot \mathbf u$
La importancia del vector gradiente es debido a que la dirección del vector gradiente corresponde a la mpaxima velocidad de cambio de la superficie correspondiente. Otro hecho destacable es que el vector gradiente es perpendicular a la curva de nivel (o superficie de nivel en el caso de una función de tres variables).
6. Valores Máximos y Mínimos
Una función $f$ tiene un valor máximo o mínimo local en $(a,b)$ y existen las derivadas parciales de primer orden de $f$ entonces $f_x(a,b)=0$ y $f_y(a,b)=0$
En el caso que se cumpla que ambas derivadas sean cero o que alguna de ellas no exista se llama a este un punto crítico o estacionario.
También se puede obtener mediante la prueba de la segunda derivadas información para clasificar los máximos y los mínimos. Si las segundas derivadas son continuas en un disco con centro en $(a,b)$ y este es un punto crítico; sea:
$D=D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-(f_{xy})^2$
- Si $D>0$ y $f_{xx}(a,b)>0, entonces $f(a,b)$ es un mínimo local.
- Si $D>0$ y $f_{xx}(a,b)<0, entonces $f(a,b)$ es un máximo local.
- Si $D<0$ entonces $f(a,b)$ es un punto de silla.
6.1. Máximos y mínimos absolutos
El teorema del valor extremo para funciones de dos variables establece que si $f$ es continua en un conjunto cerrado y acotado $D$ en $\mathbb R^2$ entonces $f$ tiene un máximo y un mínimo absoluto en algunos puntos de $D$.
Para hallar los valores máximos y mínimos absolutos, es suficiente con encontrar los valores máximos y mínimos correspondientes a los puntos críticos y luego hallar los valores correspondientes a los puntos sobre la frontera $D$, el mayor será el máximo absoluto y el menor será el mínimo absoluto.
7. Multiplicadores de Lagrange
Los multiplicadores de Lagrange es una técnica que permite encontrar el máximo y mínimo de una función $f(x,y,z)$ limitada por otra $g(x,y,z)=k$ para ello se debe resolver el sistema de ecuaciones:
$\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)$
$g(x,y,z)=k$
En este caso $k$ es el valor de la superficie que limita la función $f$
Una extensión de este método usando dos restricciones implica que el sistema de ecuaciones simultaneas sea:
$\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z) + \mu \nabla h(x,y,x)$
$g(x,y,z)=k$
$h(x,y,z)=c$
Deja un comentario
Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.