Las Funciones Vectoriales se utilizan frecuentemente en el estudio de fenómenos físicos y son de suma importancia como punto de entrada a conceptos más avanzados en cálculo y otras disciplinas de las matemáticas. Aquí se introducen las principales características y conceptos relacionados.
Si quieres aprender cálculo este es un buen lugar para iniciar.
1. Introducción a Funciones Vectoriales
Una función vectorial es similar a una función de una variable, simplemente que en lugar definirse como una regla que asigna valores numéricos correspondientes a valores de una variable, asigna vectores a valores correspondientes de una variable comúnmente llamada parámetro y simbolizado por $t$
Una función vectorial se puede definir de la siguiente manera:
$\textbf r(t)=f(t) \textbf i+g(t) \textbf j+h(t) \textbf k$
Las ecuaciones siguientes se conocen como ecuaciones paramétricas de la función:
$x=f(t), y=g(t), z=h(t)$
El límite de la función lo podemos escribir como:
$\lim_{t \to a}{\textbf r(t)}=\lim_{t \to a}{f(t)} \textbf i + \lim_{t \to a}{g(t)} \textbf j + \lim_{t \to a}{h(t)} \textbf k$
En este sentido la continuidad de la función se define de forma similar al caso de funciones ordinarias, la función es continua entonces si el limite de la función en un valor dado $a$ es igual al valor de la función en ese punto.
$\lim_{t \to a}\textbf r(a)=\textbf r(a)$
2. Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales
Las derivadas e integrales de las funciones vectoriales se definen de forma similar al caso en que las funciones sean ordinarias.
2.1. Derivadas de Funciones Vectoriales
La derivada de la función vectorial se define como:
$\textbf r'(t)=f'(t) \textbf i+g'(t) \textbf j+h'(t) \textbf k$
Las reglas de derivación y la interpretación de segundas derivadas conserva la misma interpretación que en el caso de funciones ordinarias.
Sean dos funciones vectoriales $\textbf u(t)$ y $\textbf v(t)$ y $f(t) una función ordinaria entonces:
- $\frac{d}{dt}[\textbf u+\textbf v]=\textbf u’ + \textbf v’$
- $\frac{d}{dt}[c\textbf u]=c\textbf u’$
- $\frac{d}{dt}[f \textbf u]=f’\textbf u + f \textbf u’$
- $\frac{d}{dt}[\textbf u \cdot \textbf v]=\textbf u’ \cdot \textbf v + \textbf u \cdot \textbf v’$
- $\frac{d}{dt}[\textbf u \times \textbf v]=\textbf u’ \times\textbf v + \textbf u \times\textbf v’$
- $\frac{d}{dt}[\textbf u(f(t))]=f’\textbf u(t)'(f(t))$
Esta última es la conocida como regla de la cadena en el caso vectorial.
2.2. Integrales de Funciones Vectoriales
Para el caso de las integrales, se utiliza la definición de integrales de funciones ordinarias de la siguiente forma:
$\int_a^b{\textbf r(t)dt}=\int_a^b{f(t)dt}\textbf i+\int_a^b{g(t)dt}\textbf j+\int_a^b{h(t)dt}\textbf k$
3. Longitud de arco y curvatura
La longitud de arco de una curva dada por una función vectorial, entre los parámetros $a$ y $b$ en un espacio $\mathbf R^3$ se puede definir como:
$L=\int_a^b{|\textbf r'(t)|dt}$
En general, una misma curva $C$ puede expresarse con diferentes funciones vectoriales, con lo cual cada una de las funciones que representan la curva $C$ se denominan parametrizaciones de la curva.
Una parametrización que a menudo resulta útil (porque no depende de ningún sistema coordenado) es la parametrización usando la longitud de arco.
Sea la longitud de arco:
$\frac{ds}{dt}=|\textbf r'(t)|$
Se puede parametrizar realizando la sustitución:
$t:\textbf r=\textbf r(t(s))$
3.1. Curvatura
La curvatura de una curva, en un punto ddo se define como se define como:
$\kappa(t)=|\frac{d\textbf T}{ds}|=\frac{|\textbf r'(t) \times \textbf r”(t)|}{|\textbf r’)t)|^3}$
Siendo $\\textbf T(t)$ el vector tangente unitario dado por:
$\textbf T(t)=\frac{\textbf r'(t)}{|\textbf r'(t)|}$
Dado el vector anterior, también es posible definir en un punto dado de la curva ecuaciones para el vector normal unitario principal $\textbf N(t)$ y el vector binormal $\textbf B(t)$ dados por las siguientes ecuaciones:
$\textbf N(t)=\frac{\textbf T'(t)}{|\textbf T'(t)|}$
$\textbf B(t)=\textbf T(t) \times \textbf N(t)$
4. Superficies paramétricas
Las funciones vectoriales en función de un único parametro describen curvas en $\mathbb R^3$, similarmente las funciones vectoriales de dos parametros pueden describir superficies en $\mathbb R^3$, en este caso la ecuación de esta superficie esta dada por:
$\textbf r(u,v)=x(u,v)\textbf i + y(u,v)\textbf j + z(u,v)\textbf k$