Esta artículo recopila Problemas Resueltos del Campo Eléctrico que sean complejos y cuya solución sea retadora, por lo cual se aprenderá a resolver estos ejercicios y aquellos más simples serán más fáciles de resolver.
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1. Barras Paralelas
Problema
Dos barras idénticas de largo $2a$ y con la misma carga $Q$ están separadas a una distancia $b$ siendo $b \gt 2a$. La carga esta distribuida de manera uniforme a lo largo de sus longitudes. Encuentre la fuerza ejercitada por una barra sobre la otra. La siguiente figura ilustra la situación.
Solución
Este problema puede ser difícil porque la ecuación del campo no nos permite relacionar dos cargas distribuidas puesto que el campo por definición es el efecto de una carga sobre una partícula puntual de carga, además tampoco podemos usar la ecuación de la fuerza porque requiere operar sobre cargas puntuales.
Para ello vamos a trazar la siguiente estrategia:
- Calcularemos el campo de la barra azul sobre un diferencial de carga de la barra amarilla.
- Calcularemos la fuerza del campo anterior sobre cada uno de los diferenciales de carga de la barra amarilla sumando todas las contribuciones.
El primer cálculo es relativamente sencillo, basta con hacer un cambio de variable ya que el diferencial de carga se puede relacionar con el diferencial de posición, esto lo hacemos para calcular la contribución de cada diferencial de carga de la barra azul con un único diferencial de carga de la barra amarilla, para simplicidad este diferencial de carga de la barra amarilla esta ubicado en b, finalmente la operación de integración juntará todas las contribuciones.
Siendo así la distribución de carga sobre la barra azul es $\lambda = \frac{Q}{2a}$ y su diferencial es:
$dq=\lambda dx$
Por lo cual el campo eléctrico en su magnitud es:
$E=k_e\int \frac{dq}{r^2}=k_e\int \frac{\lambda dx}{x^2}$
Donde $x$ es la distancia que separa el diferencial de carga de la barra azul del centro de la carga amarilla donde situamos el diferencial de carga, que será la partícula de prueba que utilizaremos para calcular el campo en ese punto. Por el momento note que no interesa la carga del la barra amarilla, solo interesa el punto $b$ donde se calculará el campo.
Esta integral es muy fácil de resolver, pero hay que poner atención en los límites, usualmente pensaríamos que es desde $-a$ hasta $a$ pero en este caso el campo sería cero, ya que estaríamos calculándolo en el centro de la barra azul, recordemos que el punto donde calculamos el campo es $b$ por lo cual la integral con límites y su evaluación es:
$E=k_e\lambda \int_{a+b}^{b-a}=k_e\lambda \frac{-1}{x}\rvert_{b-a}^{b+a}$
Evaluando en los límites y simplificando:
$E=k_e\lambda (\frac{2a}{a^2-b^2})$
El paso final consiste en calcular la fuerza teniendo el campo en este punto $b$, tenemos entonces que considerar todas las contribuciones de cada diferencial de carga en la barra amarilla y no solamente el ubicado en $b$, por lo cual debemos plantear la integral en función de la distancia, siendo $a$ fijo vamos a poner a variar la distancia $b$ desde el extremo izquierdo de la barra amarilla hasta el extremo derecho de la barra amarilla, por convención cambiaremos $b$ por $x$, resultando en la siguiente expresión de la fuerza:
$F=qE=2aK_e\lambda^2\int_{b-a}^{b+a}\frac{dx}{a^2-x^2}$
Al resolver la integral llegamos a la siguiente expresión:
$F=2aK_e\lambda^2 \frac{ln(x+a)-ln(x-a)}{2a}\rvert_{b-a}^{b+a}$
Posteriormente evaluándola y simplificando un poco obtenemos:
$F=k_e\lambda^2(ln(b+2a)+ln(b-2a)-2ln(b))$
Aplicando leyes de logaritmos, reemplazando la densidad de carga para obtener nuevamente la expresión en términos de $Q$ y teniendo presente que el logaritmo debe ser evaluado en valor absoluto puesto que queremos hallar la magnitud de la fuerza llegamos al resultado:
$F=\frac{k_eQ^2}{4a^2}ln( \frac{b^2}{b^2-4a^2})$
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