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Técnicas de Integración en Cálculo

septiembre 8, 2022 / / Sin comentarios

A continuación se presentan una serie de Técnicas de Integración en Cálculo que permiten realizar el proceso de integración, de integrales complejas que no se encuentran relacionadas en las integraciones de funciones básicas definidas al principio de esta página.

Si quieres aprende sobre derivación sigue el siguiente link.

1. Sustitución

La regla de sustitución es muy versátil y aplica en muchos casos, esta regla es correspondiente a la regla de la cadena para la derivación y establece de forma general lo siguiente: Si $u=g(x)$ es una función derivable cuyo rango es un intervalo $I$ y $f$ es continua sobre $I$, entonces:

$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$

La regla de la sustitución también funciona para la evaluación de integrales definidas, en este caso la regla establece lo siguiente:

$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du=F(g(x))\biggr\rvert_a^b=F(u)\biggr\rvert_{g(a)}^{g(b)}$

Un ejemplo de la aplicación de esta regla se da a continuación:

Integrar $\int x^3\cos (x^4+2)dx$, para este caso hagamos $u=x^4+2$, de tal forma que $du=4x^3dx$ o lo que es lo mismo $x^3dx=\frac{du}{4}$, la integral original queda de la forma: $\int \frac{\cos(u)}{4}du=\sin(u)$, finalmente reemplazamos de nuevo para volver a la variable original $x$ de esta manera la respuesta a la integral es: $\sin(x^4+2)$ lo cual se puede corroborar mediante derivación.

2. Simetría

Se puede aplicar simetría para evaluar funciones definidas si estas son pares o impares de la siguiente manera:

  • Si una función es par f(x)=f(−x)f(x)=f(-x) entonces la integral ∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx
  • Si una función es par $f(x)=f(-x)$ entonces la integral $\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
  • Si una función es impar $f(-x)=-f(x)$ entonces la integral $\int_{-a}^af(x)dx=0$

3. Integración por partes

Entre las Técnicas de Integración en Cálculo, la integración por partes hace uso de la regla del producto para derivación a fin de simplificar la integral y obtener una integral más sencilla. En términos generales se puede escribir la regla de integración por partes de la siguiente manera:

$\int udv = uv-\int vdu$

Se debe elegir en la integral original $u$ y $v$ de manera que $u$ sea fácil de derivar y sea fácil obtener $v$ integrando $dv$.

A continuación se muestra un ejemplo de aplicación de esta regla. Integrar

$\int e^x\sin x dx$ 

Elegimos:

$u=e^x$ de forma que $du=e^xdx$

$dv=sinxdx$ de forma que $v=−cosx$

Reemplazando en la fórmula de integración por partes se obtiene:

$\int e^x\sin x dx=-e^x\cos x-\int (-\cos x)e^xdx$

En este caso debemos volver a integrar por partes pues la segunda integral es igual de compleja que la original. En este nuevo caso tenemos que resolver la integral 

\int e^x\cos xdx

Elegimos:

$u=e^x$ de forma que $du=e^xdx$
$dv=\cos xdx$ de forma que $v=\sin x$

Reemplazando en la fórmula de integración por partes se obtiene:

$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x – \int e^x\sin xdx$

Ahora se reemplaza este resultado en la primera integral por partes obteniendo:

$\int e^x\sin x dx=-e^x\cos x + e^x\sin x – \int e^x\sin xdx$

Para finalmente despejar y obtener la solución:

$\int e^x\sin x dx=\frac{-e^x\cos x + e^x\sin x}{2}$

4. Integración trigonométrica

Otra Técnica de Integración en Cálculo es la sustitución trigonométrica la cual es útil cuando se tiene integrales que impliquen raíces. Las siguientes sustituciones pueden ser útiles:

  • Un factor de la forma $\sqrt{a^2-x^2}$ puede tratarse con la sustitución $x=a\sin \theta$
  • Un factor de la forma $\sqrt{a^2+x^2}$ puede tratarse con la sustitución $x=a\tan \theta$
  • Un factor de la forma $\sqrt{x^2-a^2}$ puede tratarse con la sustitución $x=a\sec \theta$

A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta técnica. Integrar

$\int \sqrt{r^2-x^2}dx$

Usamos la sustitución: $x=r\sin\theta$ lo que equivale a $\theta=\sin^{-1}\frac{x}{r}$ Y por lo tanto $dx=r\cos\theta d\theta$ La integral original es ahora:

$\int \sqrt{r^2-x^2}dx=r\int \sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cos\theta d\theta=r\int\sqrt{r^2\cos^2\theta}\cos\theta d\theta=r^2\int\cos^2\theta d\theta$

Para resolver esta nueva integral recurrimos a las fórmulas de ángulo doble:

$\cos^2\theta=\frac{1}{2}(1+\cos{2\theta})$


Convirtiendo nuevamente esta integral trigonométrica en:

$r^2\int\cos^2\theta d\theta=r^2\int \frac{1}{2}(1+\cos{2\theta})d\theta=r^2\biggl(\frac{\theta}{2}+\frac{\sin{2\theta}}{4}\biggl)$

Al volver a la variable original se obtiene:

$\int \sqrt{r^2-x^2}dx=r^2\biggl(\frac{\sin^{-1}\frac{x}{r}}{2}+\frac{\sin{(2\sin^{-1}\frac{x}{r}})}{4}\biggl)$

5. Integración por fracciones parciales

La técnica de fracciones parciales permite reducir una fracción dada en forma de cociente de polinomios a una forma más sencilla en términos de fracciones simples que pueden integrarse fácilmente. Por ejemplo la integral:

$\int \frac{5x-4}{2x^2+x-1}dx$

Puede simplificarse notablemente si se aplica fracciones parciales:

$\int \biggl( \frac{3}{x+1}-\frac{1}{2x-1} \biggr)dx$

Esta última integral es muy fácil de resolver aplicando sustituciones.

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Aplicaciones Prácticas de la Derivación

septiembre 8, 2022 / / Sin comentarios

Cuando estudiamos derivadas y cualquier rama de la matemática queremos encontrar en que situaciones reales o aplicadas las podemos utilizar, en este artículo se explora los resultados más útiles de Aplicaciones Practicas de la Derivación.

Si quieres aprender Álgebra Lineal te recomiendo seguir este enlace.

1. Máximos y mínimos

Una función $f$ tiene un máximo absoluto (o máximo global) en $c$ si $f(c) \ge f(x) \forall x \in D$, donde $D$ es el dominio de $f$. El número $f(c)$ se llama valor máximo de $f$ en $D$, De manera análoga, $f$ tiene un mínimo absoluto en $c$ si $f(c) \le f(x) \forall x \in D$; el número $f(c)$ se denomina valor mínimo de $f$ en $D$, los valores máximo y mínimo de $f$ se conocen como valores extremos de $f$, Una función $f$ posee un máximo local (o máximo relativo) en $c$ si $f(c) \ge f(x)$ cuando $x$ está cercano a $c$ o alternativamente para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene a $c$, De manera análoga, $f$ tiene un mínimo local en $c$ si $f(c) \le f(x)$ cuando $x$ está cerca de $c$.

2. Teorema del valor extremo

Una de las Aplicaciones Prácticas de la Derivación es el Teorema del Valor Extremo que se analiza aquí. Si $f$ es continua sobre un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un valor máximo absoluto $f(c)$ y un valor mínimo absoluto $f(d)$ en algunos números $c$ y $d$ en $[a,b]$

3. Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un máximo o un mínimo locales en $c$ y si $f'(c)$ existe, entonces $f'(c)=0$.
Es importante anotar respecto de este teorema que dice que los máximos o mínimos cumplen una condición y no que en los puntos en los cuales $f'(c)=0$ sea necesariamente un máximo o un mínimo; en otras palabras el teorema de Fermat da los puntos en los cuales se podría comenzar a buscar máximos y mínimos.

4. Números críticos

Un número críticos son otra de las Aplicaciones Prácticas de la Derivación y para una función $f$ es un número $c$ en el dominio de $f$ tal que $f'(c)=0$ o $f'(c)$ no existe. Con esta definición se podría reescribir el teorema de Fermat de la siguiente manera: Si $f$ tiene un extremo local en $c$, entonces $c$ es un número crítico de $f$.

5. Método del intervalo cerrado

El siguiente método permite hallar los máximos y mínimos absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado: Para hallar los valores máximos y mínimos absolutos de una función $f$ sobre un intervalo cerrado $[a,b]$:

  • Encuentre los valores de $f$ en los números críticos de $f$ en $(a,b)$
  • Halle los valores de $f$ en los puntos extremos del intervalo
  • El más grande de los valores de los pasos anteriores es el valor máximo absoluto, el valor más pequeño es el valor mínimo absoluto.

6. Teorema del valor medio

Si es una función derivable sobre el intervalo $[a,b]$ entonces existe un número $c$ entre $a$ y $b$ tal que:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

o lo que equivale a:

$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$

En palabras lo que este teorema dice es entre el punto $a$ y $b$ se puede trazar una recta cuya pendiente es igual a la pendiente de la recta tangente en algún punto del recorrido que la función $f$ realiza de $a$ a $b$.

7. Prueba de la primera derivada

Esta prueba permite determinar los máximos y mínimos locales de una función. La prueba afirma lo siguiente: Suponga que $c$ es un número crítico de una función continua $f$

  • Si $f’$ cambia de positiva a negativa en $c$ entonces $f$ tiene un máximo local en $c$
  • Si $f’$ cambia de negativa a positiva en $c$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$
  • Si $f’$ no cambia de signo en $c$ entonces $f$ no tiene ni máximos ni mínimos locales en $c$

8. Prueba de la segunda derivada

Esta prueba permite determinar los máximos y mínimos locales de una función. La prueba afirma lo siguiente: Suponga que $f′′$ es continua cerca de $c$

  • Si $f'(c)=0$ y $f”(c) \gt 0$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$
  • Si $f'(c)=0$ y $f”(c) \lt 0$ entonces $f$ tiene un máximo local en $c$

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Reglas de Derivación en Cálculo

septiembre 8, 2022 / / Sin comentarios

En este artículo encontraras una compilación de las Reglas de Derivación en Cálculo incluyendo algunos conceptos importantes que ayudan a facilitar este proceso como la derivación basados en la regla de la cadena o la derivación logaritmica.

Para comprender los principios de las derivadas visita este link.

1. Reglas de derivación

Dado que el cálculo de derivadas con límites es un poco engorroso se tiene la posibilidad de calcular derivadas con unas sencillas Reglas de Derivación. Los resultados que se resumen a continuación se entregan sin demostración.

1.1. Derivada de una función constante

La derivada de esta función es:

$\frac{d}{dx}\biggl(c\biggr)=0$

7.2. Derivada de la función potencia

Sea la función:

$f(x)=x^n \text{ ; } n\in \mathbb R$

Su derivada es:

$\frac{d}{dx}\biggl(x^n\biggr)=nx^{n-1}$

1.3. Regla del múltiplo constante

Sea la función $f(x)$ diferenciable y $c$ una constante que no depende de $x$ entonces su derivada es:

$\frac{d}{dx}\biggl(cf(x)\biggr)=c\frac{d}{dx}f(x)$

1.4. Regla de la suma y la diferencia

Sea las funciones $f(x)$ y $g(x)$ ambas diferenciable entonces se cumple que:

$\frac{d}{dx}\biggl(f(x)+g(x)\biggr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$

$\frac{d}{dx}\biggl(f(x)-g(x)\biggr)=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$

1.5. Definición del número $e$

Las Reglas de Derivación para una función exponencial $f(x)=a^x$ donde el número aa se conoce como base, existe un número para el cual la pendiente de la función exponencial en $x=0$ es 1. Es decir, una función exponencial donde la pendiente de su recta tangente vale lo mismo que la función, este número se conoce como $e$ y se trata de un número irracional.

 Función exponencial
Figura 6. Función exponencial

Formalmente el número $e$ se puede definir como el número tal que:

$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$

El valor de este número se aproxima a: $e \approx 2.71828$ Utilizando estos hechos y la definición de derivada se puede expresar el número $e$ con los siguientes límites alternativos:

$e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{n \to \infty}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n$

1.6. Derivada de la función exponencial natural

La derivada de esta función es:

$\frac{d}{dx}\biggl(e^x\biggr)=e^x$

1.7. Derivada de la función exponencial

La derivada de esta función en la cual el exponente varía y la base es un número real es:

$\frac{d}{dx}\biggl(a^x\biggr)=a^x\ln a$

1.8. Regla del producto y del cociente

En general, la Regla de Derivación del producto no es el producto de las derivadas, similarmente ocurre con la división. A continuación se muestran las fórmulas correctas para calcular estas derivadas. En primer lugar se muestra la fórmula para el producto. Si tanto $f$ como $g$ son diferenciables, entonces:

$\frac{d}{dx}\biggl[f(x)g(x)\biggr]=f(x)\frac{d}{dx}\biggl[g(x)\biggr]+g(x)\frac{d}{dx}\biggl[f(x)\biggr]$

En segundo lugar se muestra la fórmula para el cociente. Si tanto $f$ como $g$ son diferenciables, entonces:

$\frac{d}{dx}\biggl[\frac{f(x)}{g(x)}\biggr]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$

1.9. Derivadas de funciones trigonométricas

Antes de mostrar las Reglas de Derivación de las funciones trigonométricas es importante contar con dos resultados en cuando a límites trigonométricos comunes:

$\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$

$\lim_{\theta \to 0}\frac{\cos\theta-1}{\theta}=0$

Los límites anteriores que se pueden obtener con argumentos geométricos y con ayuda del teorema de la compresión sirven para calcular las siguientes derivadas de funciones trigonométricas.

Derivada del seno

$\frac{d}{dx}\biggl(\sin x\biggr)=\cos x$


Derivada del coseno

$\frac{d}{dx}\biggl(\cos x\biggr)=-\sin x$


Derivada de la tangente

$\frac{d}{dx}\biggl(\tan x\biggr)=\sec^2 x$


Derivada de la cosecante

$\frac{d}{dx}\biggl(\csc x\biggr)=-\csc x \cot x$


Derivada de la secante

$\frac{d}{dx}\biggl(\sec x\biggr)=\sec x \tan x$


Derivada de la cotangente

$\frac{d}{dx}\biggl(\cot x\biggr)=-csc^2 x$

2. Regla de la cadena

Esta Regla de Derivación en Cálculo permite derivar funciones compuestas que son funciones más complejas que las funciones sencillas anteriormente relacionadas. Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $g(x)$, entonces la función compuesta F=f∘gF=f∘g definida por $F(x)=f(g(x))$ es derivable en $x$ y $F’$ está dada por el producto

$F'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)$

En la notación de Leibniz, si tanto $y=f(u)$ como $u=g(x)$ son funciones diferenciables entonces:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Derivada de seno inverso

$\frac{d}{dx}\biggl(\sin ^{-1}x\biggr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$


Derivada de coseno inverso

$\frac{d}{dx}\biggl(\cos ^{-1}x\biggr)=-\frac{1}{{\sqrt{1-x^2}}}$


Derivada de tangente inversa

$\frac{d}{dx}\biggl(\tan ^{-1}x\biggr)=\frac{1}{{1+x^2}}$

4. Derivadas de funciones logarítmicas

La Regla de Derivación en Cálculo de la función logaritmo en base $a$ es:

$\frac{d}{dx}\biggl(\log_a x\biggr)=\frac{1}{x\ln a}$

Similarmente la derivada de la función logaritmo natural es:

$\frac{d}{dx}\biggl(\ln x\biggr)=\frac{1}{x}$

5. Derivación logarítmica

En ocasiones se tienen funciones difíciles de derivar por su complejidad operativa, por ejemplo funciones que incluyan muchas raíces y fracciones. Una forma fácil de derivar estas funciones consiste en utilizar el método denominado derivación logarítmica el cual se aplica siguiendo los siguientes tres pasos:

  • Tome el logaritmo natural en ambos miembros de $y=f(x)$ esto convertirá las potencias en multiplicaciones, las divisiones en restas y las multiplicaciones en sumas utilizando leyes de logaritmos.
  • Derive implícitamente respecto a $x$
  • Despeje en la ecuación resultante $y’$

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Matrices Inversas Transpuesta Elementales y sus Operaciones

septiembre 7, 2022 / / Sin comentarios

En este artículo se tratan los diferentes tipos de Matrices que son muy utilizados en el día a día de cualquier persona que trabaje con temas de matemáticas, ingeniería o incluso Excel, se consideran las Matrices Inversas Transpuestas Elementales y sus Operaciones que se pueden realizar entre ellas.

Si quieres más información de Álgebra Lineal y vectores sigue este enlace.

1. Matrices Inversas en Álgebra Lineal

Las matrices inversas de $\mathbf A$ es aquella que multiplicada por $\mathbf A$ produce la matriz identidad de $\mathbf I$ del mismo tamaño de $\mathbf A$. No todas las matrices tienen inversa y solo se encuentra definida para matrices cuadradas. El concepto es poderoso y simple porque permite resolver el sistema de ecuaciones $\mathbf A \cdot x=b$  con una simple multiplicación, así:

$\mathbf A \cdot x=b$

$\mathbf A^{-1} \mathbf A \cdot x=\mathbf A^{-1} \cdot b$

$\mathbf I \cdot x = \mathbf A^{-1} \cdot b$

$x = \mathbf A^{-1} \cdot b$

Hemos denotado la inversa de $\mathbf A$ como $\mathbf A^-1$ donde se cumplen las siguientes propiedades:

$\mathbf A_n \mathbf I_n = \mathbf I_n \mathbf A_n = \mathbf A_n$

$\mathbf A_n \mathbf A_n^{-1} = I_n$

Para calcular la inversa de una matriz puede recurrir a la solución de sistemas de ecuaciones o a determinantes, veamos ambos casos.

1.1. Procedimiento para encontrar la matriz inversa usando sistemas de ecuaciones

  • Escriba la matriz aumentada del sistema $\mathbf A| \mathbf I$
  • Reduzca el sistema para poner $\mathbf A$ en su forma reducida por reglones
  • Se decide si $\mathbf A$ es invertible

La solución se define entonces según corresponda:

  • Si la forma escalonada reducida por reglones de $\mathbf A$ es la matriz identidad, entonces la inversa se encuentra a la izquierda en el sistema resuelto
  • Si en la reducción existe un reglón de ceros a la izquierda, la matriz $\mathbf A$ no es invertible

1.2. Procedimiento para encontrar la inversa usando determinantes

Para hallar la inversa usando determinantes basta recurrir a la siguiente multiplicación:

$\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf A}\begin{bmatrix} a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

Donde el determinante de una matriz cuadrada de tamaño 2 es:

$\det \mathbf A = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

2. Matriz transpuesta

Además de las Matrices Inversas existen las Transpuestas y se define como $\mathbf A^t$ de una matriz $\mathbf A$ se obtiene al escribir las filas como columnas. Las matrices transpuestas tienen muchas propiedades útiles, a continuación se muestran estas propiedades:

${(\mathbf A^t)}^t=\mathbf A$

$(\mathbf A^t\mathbf B^t)=\mathbf A^t\mathbf B^t$

$(\mathbf A^t + \mathbf B^t)=\mathbf A^t + \mathbf B^t$

Si $\mathbf A$ es invertible, entonces $\mathbf A^t$ es invertible y ${(\mathbf A^t)}^{-1}={(\mathbf A^{-1})}^{t}$

Se dice que una matriz es simétrica si su transpuesta es igual a la matriz, note que sólo las matrices cuadradas pueden ser también simétricas.

3. Matrices elementales y matrices inversas

Como complemento a las Matrices Inversas y Transpuestas existe las matrices Elementales y sus Operaciones que se estudian en esta sección. Una operación elemental entre renglones puede representarse a través de una operación de multiplicación entre matrices, la matriz por la cual se multiplica se llama matriz elemental. Adicionalmente, una matriz inversa (o las operaciones de eliminación Gauss-Jordan) se puede representar como una multiplicación de matrices elementales, esto quiere decir que si una matriz es invertible se puede representar como una multiplicación de matrices elementales.

Matriz elementalEfecto de multiplicación
MultiplicaciónMultiplica el reglón $i$ de $\mathbf A$ por $c$
SumaMultiplica el reglón $i$ de $\mathbf A$ por $c$ y lo suma al reglón $j$
PermutaciónPermuta los reglones $i$ y $j$ de $\mathbf A$

La representación simbólica de estas operaciones y las matrices correspondientes se muestran a continuación.

3.1. Multiplicación de matrices

RepresentaciónMatriz ElementalObservación
$cR_i$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$Siendo $i$ el reglón 2 en este ejemplo

3.2. Suma de matrices

RepresentaciónMatriz ElementalObservación
$R_j+cR_i$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}$Siendo $i$ el reglón 1 y $j$ el reglón 3 en este ejemplo

3.3. Permutación de matrices

RepresentaciónMatriz ElementalObservación
$P_{ij}$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}$Siendo $i$ el reglón 2 y $j$ el reglón 3 en este ejemplo

4. Factorización de Matrices en Álgebra Lineal

Factorización: $\mathbf A = \mathbf {LU}$

Suponga que una matriz $\mathbf A$ invertible puede reducir por renglones a una matriz triangular superior sin realizar permutaciones. Entonces existen matrices únicas $\mathbf L$ y $\mathbf U$ tales que $\mathbf L$ es triangular inferior con unos en la diagonal, $\mathbf U$ es una matriz triangular superior invertible y $\mathbf A = \mathbf L \mathbf U$. Para hallar la factorización se puede reducir la matriz $\mathbf A$ por renglones (sin dejar unos en la diagonal principal) y la matriz resultante será la matriz $\mathbf U$. De forma similar si se expresan las operaciones elementales sobre renglones como matrices y se multiplican estas matrices se obtiene la matriz $\mathbf L$.

Factorización: $\mathbf {PA} = \mathbf{LU}$

Sea $\mathbf A$ cualquier matriz $mxn$. Entonces existe una matriz de permutación $\mathbf P$ tal que $\mathbf{PA}=\mathbf{LU}$ donde $\mathbf L$ y $\mathbf U$ son como en la factorización $\mathbf{LU}$, en general $\mathbf P$, $\mathbf A$ y $\mathbf U$ no son únicas. Para hallar esta factorización se procede como en el caso anterior, pero las permutaciones que se requieran hacer para obtener una matriz triangular superior (proceso de reducción por reglones) se expresan en una matriz de permutación $\mathbf P$ haciendo uso de matrices elementales.

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Determinantes en Álgebra Lineal

septiembre 7, 2022 / / Sin comentarios

Los determinantes son herramientas operativas del álgebra de matrices y lineal que permite simplificar ciertas operaciones que se realizan como el cálculo de la matriz inversa y la determinación del rango de una matriz.

Siga este vínculo para obtener más información de álgebra lineal.

1. Determinantes de Matrices en Álgebra Lineal

Las siguientes son definiciones útiles acerca de los determinantes de matrices.

  • El determinante de una matriz cuadrada se expresa como $\det \mathbf A=|\mathbf A|$ note que aquí las barras no indican valor absoluto
  • Se llama $\text{menor} ij$ de una matriz cuadrada $\mathbf A$ representado con $M_{ij}$ a la matriz obtenida al eliminar el reglón $i$ y la columna $j$ de la matriz $\mathbf A$
  • El $\text{cofactor} ijij$ de una matriz cuadrada denotado por $A_{ij}$ esta dado por $A_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|$

Con estas definiciones podemos expresar fácilmente el determinante de cualquier matriz utilizando una expresión conocida como expansión por cofactores, así:

$\det \mathbf A=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}$

Esta expansión por cofactores también se puede llevar a cabo tomando cualquier fila o columna de la matriz. Note que esto lleva a que si cualquier fila o columna de la matriz sean sus componentes cero, entonces el determinante será cero también. Para algunas matrices el cálculo del determinante se puede simplificar, por ejemplo, para las matrices triangulares (superiores o inferiores) el determinante es solo el producto los componentes de su diagonal principal.

2. Propiedades de los determinantes

  • $\det \mathbf {AB}=\det \mathbf A \det \mathbf B$
  • Si una matriz $\mathbf A$ tiene factorización $\mathbf A=\mathbf L \mathbf U$ entonces $\det \mathbf{A} = \det \mathbf{U}$
  • Si una matriz $\mathbf A$ tiene factorización $\mathbf{PA=LU}$ entonces $\det \mathbf{A} = \frac {\det \mathbf{U}}{\det \mathbf P} = \pm \det \mathbf U$
  • $\det \mathbf A = \det \mathbf A^t$
  • Si una columna o fila de $\mathbf A$ se multiplica por un escalar $c$ entonces el determinante de la nueva matriz es $c| \mathbf A|$
  • Sea tres matrices $\mathbf{A,B,C}$, $\mathbf A$ y $\mathbf B$ son idénticas excepto por una columna $j$, y $\mathbf C$ es idéntica a $\mathbf A,\mathbf B$,  excepto que la columna de $\mathbf C$ es la suma de las columnas $j$ de $\mathbf A,\mathbf B$, entonces $\det \mathbf C = \det \mathbf A + \det \mathbf B$, la misma afirmación es cierta para un reglón $i$
  • El intercambio de dos reglones (o columnas) de una matriz, tiene el efecto de multiplicar su determinante por $−1$
  • Si una matriz tiene dos reglones (o columnas) iguales entonces su determinante es cero
  • Si una matriz tiene un reglón (o columna) igual a cero entonces su determinante es cero
  • Si una matriz tiene un reglón (o columna) múltiplo escalar de otro entonces su determinante es cero
  • Si una matriz se suma un múltiplo escalar de un reglón (o columna) a otro entonces su determinante no cambia
  • Si $\mathbf E$ es una matriz elemental que representa la operación de intercambio de dos filas, entonces $\det \mathbf E=-1$
  • Si $\mathbf E$ es una matriz elemental que representa la operación de suma de una fila con un múltiplo de otra fila, entonces $\det \mathbf E=-1$
  • Si $\mathbf E$ es una matriz elemental que representa la operación de multiplicación de una fila por un escalar cc, entonces $\det \mathbf E=c$

3. Determinantes y matrices inversas

Una de las propiedades más importantes de los determinantes se relaciona con la invertibilidad de una matriz, así: Una matriz es invertible, si su determinante es diferente de cero A continuación se explorará un concepto importante denominado adjunta de una matriz. Sea $\mathbf A$ una matriz y $\mathbf A_{ij}$ el cofactor de la matriz para los relgones $i$ y $j$; sea $\mathbf B$ otra matriz pero esta construida con los cofactores de la matriz $\mathbf A$ así:

$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \dotsm & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dotsm & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dotsm & A_{nn} \end{bmatrix}$

Se denomina matriz adjunta de $\mathbf A$ a la matriz $\mathbf B^t$, es decir a la matriz de cofactores transpuesta. La adjunta se puede representar simbólicamente así:

$adj \mathbf A=\mathbf B^t$

La utilidad de la matriz adjunta tiene que ver con los siguientes dos resultados:

$(\mathbf A)(adj \mathbf A)=(\det \mathbf A)(\mathbf I)$

$\mathbf A^{-1}=\frac{1}{\det \mathbf A}adj \mathbf A$

Observe que el primer resultado pone en la diagonal principal el valor del determinante y el segundo resultado implica un cálculo para obtener la inversa de una matriz.

4. Regla de Cramer

La regla de Cramer es otro método que permite encontrar la solución a un sistema de ecuaciones simultáneas, con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas. El método actualmente está en desuso, pero tiene trascendencia historia. Sea el sistema de ecuaciones:

$\mathbf{Ax}=\mathbf b$

Donde se representara con $D$ el determinante de la matriz $\mathbf A$. Adicionalmente, se tienen $n$ matrices representadas como $\mathbf A_i$ donde cada matriz es la misma matriz $\mathbf A$ pero cambiando la columna $i$ por el vector $\mathbf b$, respectivamente se cuentan con los determinantes de cada una de estas matrices representados como $D_i$, entonces la solución al sistema de ecuaciones es:

$x_i=\frac{D_i}{D}$

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Sistemas de Ecuaciones Simultaneas con Matrices

septiembre 4, 2022 / / Sin comentarios

En muchas ocasiones se presentan situaciones que implican resolver ecuaciones simultaneas, y aunque existen muchas técnicas el uso de matrices ayuda a resolver estas ecuaciones de forma fácil y rápida, en este artículo Sistemas de Ecuaciones Simultaneas con Matrices en Álgebra Lineal aprenderás como resolver estos sistemas.

Sigue este enlace si quieres aprender temas básicos de matemáticas.

1. Sistema de ecuaciones usando Matrices en Álgebra Lineal

1.1. Eliminación de Gauss Jordan usando Matrices en Álgebra Lineal

El proceso de eliminación de Gauss – Jordan sirve para solucionar la anterior ecuación, para ello se debe escribir la matriz aumentada del sistema $\mathbf A$ seguida del vector $b$ de la siguiente manera:

$\left(\begin{array}{cc|c}
a_{11} & a_{12} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & b_2\\
\end{array}\right)$

Donde la idea es obtener una matriz escalonada reducida por reglones y pivote y luego utilizar una sustitución hacia adelante. Para lograr esta matriz se deben hacer tres operaciones fundamentales que puede ser:

  • Conmutación de filas
  • División de una fila por un escalar diferente de cero
  • Adicionar p veces una fila a otra

La notación para estas operaciones fundamentales con reglones es la siguiente:

$R_i \rightarrow cR_i$ Reemplaza la fila i-esima, por ella misma multiplicada por un escalar

$R_j \rightarrow R_j+cR_i$ Sustituye el j-esimo reglón por la suma del reglón $j$ más el reglón $i$ multiplicado por $c$

$R_j \leftrightarrows R_i$ Intercambia los reglones $i$ con el reglón $j$

Las matrices que se obtienen después de realizar una operación fundamental se denominan matrices equivalentes por reglones. Una matriz se encuentra en su forma escalonada reducida por reglones y pivote siempre que:

  • Si existe una fila de ceros esta es la última
  • El primer elemento para una fila que no es toda de ceros es uno
  • Para dos reglones que no todos sus elementos son ceros, entonces el primer uno en el reglón de más abajo también se encuentra más a la derecha.
  • Cualquier columna que contiene un uno y este uno es el primer elemento en el reglón donde aparece tiene ceros en el resto de sus posiciones. El primer uno para un reglón diferente de cero se llama pivote para el reglón

2. Sistemas homogéneos

Un sistema de ecuaciones se dice que es homogéneo cuando el vector bb tiene todas sus componentes en cero, y, por lo tanto, la matriz aumentada del sistema que le corresponde es la siguiente:

$\left(\begin{array}{cc|c}
a_{11} & a_{12} & 0\\
a_{21} & a_{22} & 0\\
\end{array}\right)$

Todos los sistemas homogéneos tiene una solución trivial, es decir, la solución es entonces $x_1=x_2=0$. Para todo sistema homogéneo también se cumple que si tiene más incógnitas que ecuaciones ($n>m$) tiene un número infinito de soluciones. Para un sistema no homogéneo y su correspondiente sistema homogéneo, se pueden encontrar todas las soluciones teniendo en cuenta que si $\mathbf x_1$ es solución y $\mathbf x_2$ también es solución del sistema no homogéneo entonces $\mathbf x_1− \mathbf x_2$ es solución al sistema homogéneo relacionado. Lo anterior es muy útil y se puede representar como $\mathbf y= \mathbf x+ \mathbf h$ donde $\mathbf x$ e $\mathbf y$ es una solución del sistema no homogéneo y $\mathbf h$ es solución del sistema homogéneo, por lo tanto, para encontrar todas las soluciones al sistema no homogéneo basta con encontrar una solución del sistema no homogéneo y todas las soluciones del sistema homogéneo relacionado.

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