A continuación se presentan una serie de Técnicas de Integración en Cálculo que permiten realizar el proceso de integración, de integrales complejas que no se encuentran relacionadas en las integraciones de funciones básicas definidas al principio de esta página.

Si quieres aprende sobre derivación sigue el siguiente link.

1. Sustitución

La regla de sustitución es muy versátil y aplica en muchos casos, esta regla es correspondiente a la regla de la cadena para la derivación y establece de forma general lo siguiente: Si $u=g(x)$ es una función derivable cuyo rango es un intervalo $I$ y $f$ es continua sobre $I$, entonces:

$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$

La regla de la sustitución también funciona para la evaluación de integrales definidas, en este caso la regla establece lo siguiente:

$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du=F(g(x))\biggr\rvert_a^b=F(u)\biggr\rvert_{g(a)}^{g(b)}$

Un ejemplo de la aplicación de esta regla se da a continuación:

Integrar $\int x^3\cos (x^4+2)dx$, para este caso hagamos $u=x^4+2$, de tal forma que $du=4x^3dx$ o lo que es lo mismo $x^3dx=\frac{du}{4}$, la integral original queda de la forma: $\int \frac{\cos(u)}{4}du=\sin(u)$, finalmente reemplazamos de nuevo para volver a la variable original $x$ de esta manera la respuesta a la integral es: $\sin(x^4+2)$ lo cual se puede corroborar mediante derivación.

2. Simetría

Se puede aplicar simetría para evaluar funciones definidas si estas son pares o impares de la siguiente manera:

  • Si una función es par f(x)=f(−x)f(x)=f(-x) entonces la integral ∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx
  • Si una función es par $f(x)=f(-x)$ entonces la integral $\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
  • Si una función es impar $f(-x)=-f(x)$ entonces la integral $\int_{-a}^af(x)dx=0$

3. Integración por partes

Entre las Técnicas de Integración en Cálculo, la integración por partes hace uso de la regla del producto para derivación a fin de simplificar la integral y obtener una integral más sencilla. En términos generales se puede escribir la regla de integración por partes de la siguiente manera:

$\int udv = uv-\int vdu$

Se debe elegir en la integral original $u$ y $v$ de manera que $u$ sea fácil de derivar y sea fácil obtener $v$ integrando $dv$.

A continuación se muestra un ejemplo de aplicación de esta regla. Integrar

$\int e^x\sin x dx$ 

Elegimos:

$u=e^x$ de forma que $du=e^xdx$

$dv=sinxdx$ de forma que $v=−cosx$

Reemplazando en la fórmula de integración por partes se obtiene:

$\int e^x\sin x dx=-e^x\cos x-\int (-\cos x)e^xdx$

En este caso debemos volver a integrar por partes pues la segunda integral es igual de compleja que la original. En este nuevo caso tenemos que resolver la integral 

\int e^x\cos xdx

Elegimos:

$u=e^x$ de forma que $du=e^xdx$
$dv=\cos xdx$ de forma que $v=\sin x$

Reemplazando en la fórmula de integración por partes se obtiene:

$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x – \int e^x\sin xdx$

Ahora se reemplaza este resultado en la primera integral por partes obteniendo:

$\int e^x\sin x dx=-e^x\cos x + e^x\sin x – \int e^x\sin xdx$

Para finalmente despejar y obtener la solución:

$\int e^x\sin x dx=\frac{-e^x\cos x + e^x\sin x}{2}$

4. Integración trigonométrica

Otra Técnica de Integración en Cálculo es la sustitución trigonométrica la cual es útil cuando se tiene integrales que impliquen raíces. Las siguientes sustituciones pueden ser útiles:

  • Un factor de la forma $\sqrt{a^2-x^2}$ puede tratarse con la sustitución $x=a\sin \theta$
  • Un factor de la forma $\sqrt{a^2+x^2}$ puede tratarse con la sustitución $x=a\tan \theta$
  • Un factor de la forma $\sqrt{x^2-a^2}$ puede tratarse con la sustitución $x=a\sec \theta$

A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta técnica. Integrar

$\int \sqrt{r^2-x^2}dx$

Usamos la sustitución: $x=r\sin\theta$ lo que equivale a $\theta=\sin^{-1}\frac{x}{r}$ Y por lo tanto $dx=r\cos\theta d\theta$ La integral original es ahora:

$\int \sqrt{r^2-x^2}dx=r\int \sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cos\theta d\theta=r\int\sqrt{r^2\cos^2\theta}\cos\theta d\theta=r^2\int\cos^2\theta d\theta$

Para resolver esta nueva integral recurrimos a las fórmulas de ángulo doble:

$\cos^2\theta=\frac{1}{2}(1+\cos{2\theta})$


Convirtiendo nuevamente esta integral trigonométrica en:

$r^2\int\cos^2\theta d\theta=r^2\int \frac{1}{2}(1+\cos{2\theta})d\theta=r^2\biggl(\frac{\theta}{2}+\frac{\sin{2\theta}}{4}\biggl)$

Al volver a la variable original se obtiene:

$\int \sqrt{r^2-x^2}dx=r^2\biggl(\frac{\sin^{-1}\frac{x}{r}}{2}+\frac{\sin{(2\sin^{-1}\frac{x}{r}})}{4}\biggl)$

5. Integración por fracciones parciales

La técnica de fracciones parciales permite reducir una fracción dada en forma de cociente de polinomios a una forma más sencilla en términos de fracciones simples que pueden integrarse fácilmente. Por ejemplo la integral:

$\int \frac{5x-4}{2x^2+x-1}dx$

Puede simplificarse notablemente si se aplica fracciones parciales:

$\int \biggl( \frac{3}{x+1}-\frac{1}{2x-1} \biggr)dx$

Esta última integral es muy fácil de resolver aplicando sustituciones.

6. Artículos de Interés

Aplicaciones Prácticas de la Derivación
Límites en Cálculo
Integrales en Cálculo