Las series de potencias son una herramienta tremendamente útil en Cálculo y permiten representar una función como una sumatoria, en este artículo se recopila los principales resultados de las Series de Potencias de Taylor y Maclaurin en Cálculo.
Si quiere aprender sobre lo básico de series siga este enlace.
1. Series de potencias
La Serie de Potencias en Cálculo es aquella que viene dada por la forma:
$\sum_{x=0}^{\infty}c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\dots$
Donde $x$ es una variable y las $c_n$ son constantes llamadas coeficientes de la serie. Note que una serie corresponde a un polinomio de grado infinito. De forma más general se puede escribir la serie como:
$\sum_{x=0}^{\infty}c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\dots$
La cual se denomina serie de potencias en $x-a$ o serie de potencias centrada en $a$
En general para una serie de potencias $\sum_{x=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$ centrada en $a$ sólo existen tres posibilidades:
- La serie converge solo cuando $x=a$
- La serie converge para toda $x$
- Hay un número positivo $R$, tal que la serie converge si $|x-a| \lt R$ y diverge si $|x-a|>R$
El número $R$ es conocido como radio de convergencia de la serie de potencias y dependiendo de alguno de los tres casos anteriores, todos los valores de xx para los cuales la serie converge se conocen como intervalo de convergencia.
Hay que tener en cuenta que para la mayoría de las series de potencias se puede utilizar la prueba de la razón para obtener un criterio de convergencia y el intervalo de convergencia, sin embargo, para los extremos del intervalo esta prueba no es aplicable y debe sustituirse el valor del intervalo en la serie y determinar por algún otro medio la convergencia de la misma en estos puntos.
2. Representación de funciones como series de potencias
Las funciones matemáticas pueden representarse usando una serie de potencias, y para ello es importante retomar la serie:
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^2+x^3+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\text{ }|x|<1$
De esta forma también podemos escribir:
$f(x)=\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\text{ }|x|<1$
Tenga presente que se pueden transformar las funciones usando álgebra básica para representarlas como series de potencias y que no todas las funciones se pueden representar como una serie de potencias.
3. Derivación e integración de las series de potencias
La suma de una serie de potencias de una función, permite obtener la derivada y la integral de dicha función derivando termino a termino. Si la serie de potencias $\sum c_n(x-a)^n$ tiene el radio de convergencia $R>0$, entonces la función $f$ definida por
$f(x) =c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$
es derivable y como consecuencia continua en el intervalo $(a-R,a+R)$ y
- $f'(x) =c_1+2c_2(x-a)+3c_3(x-a)^2+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}nc_n(x-a)^{n-1}$
- $\int f(x)dx =C+c_0(x-a)+c_1\frac{(x-a)^2}{2}+c_2\frac{(x-a)^3}{3}+\dots=C+\sum_{n=0}^{\infty}c_n\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}$
Los radios de convergencia de las series de potencias anteriores son $R$. Las ecuaciones anteriores pueden volver a escribirse de la siguiente manera:
- $\frac{d}{dx}\left[\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n \right] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} [c_n(x-a)^n]$
- $\int\left[\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n \right] = \sum_{n=0}^{\infty} \int [c_n(x-a)^n]$
Estas ecuaciones afirman que la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales incluso para sumas infinitas. Debe tenerse mucho cuidado puesto que lo anterior solo es cierto para sumas de series de potencias y no para otro caso. Los resultados expuestos aquí son muy útiles, puesto que permiten expresar una función como una serie incluso para funciones menos usuales a través del uso de sus derivadas y sus integrales conocidas.
4. Series de Taylor y Maclaurin
Dado que una función se puede representar como serie de potencias, usando derivadas y teniendo presente que en $x=a$ los términos que contienen $x$ se anulan se puede escribir los coeficientes de la serie de potencias en términos de $f$ así:
Si $f$ tiene una representación en series de potencias centradas en $a$, esto es:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n\text{ cuando } |x-a| \lt R$
entonces los coeficientes de la serie pueden ser expresados por la fórmula:
$c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$
La serie resultante tiene dos casos:
1. Serie de potencias centrada en $0$, conocida como serie de Maclaurin
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
2. Serie de potencias centrada en $a$, conocida como serie de Taylor
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
4.2 Teoremas y definiciones
Las representaciones de las series de Taylor y Maclaurin pueden coincidir con la función y para demostrar ello los siguiente resultados son útiles.
Definición: Polinomio de Taylor Las sumas parciales de la serie de Taylor equivalen a un polinomio de grado $n$ que se puede expresar como:
$T_n(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i$
Definición: Residuo de la serie de Taylor Se define el residuo de la serie de Taylor como el polinomio de grado $n$ entre el polinomio de Taylor de grado $n$ y la función $f$, así:
$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$
Note que si $\lim_{n \to \infty}R_n(x) = 0$ entonces la serie de Taylor y la función coinciden.
Teorema Si $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$, donde $T_n(x)$ es el polinomio de Taylor y $R_n(x)$ es el residuo de la serie de Taylor de n-esimo grado de $f$ en $a$ y si
$\lim_{n \to \infty}R_n(x)=0$
para $|x-a| \lt R$, entonces $f$ es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo $|x-a| \lt R$
Teorema Desigualdad de Taylor El siguiente resultado es útil para demostrar que el residuo de la serie de Taylor es cero.
Si $|f^{(n+a)}(x)|\le M$ para $|x-a| \le d$, entonces el residuo $R_n(x)$ de la serie de Taylor satisface la desigualdad:
$|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} \text{ para } |x-a| \le d$
4.3. Resultados importantes
Algunos de los resultados más importantes que tienen relación con las series de Taylor y Maclaurin de funciones conocidas se recopilan a continuación:
- $\lim_{n \to \infty}\frac{x^n}{n!}=0 \text{ para todo número real x}$
- $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n \text{ para todo número real x entre (-1,1)}$
- $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\ text{ para todo número real x}$
- $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \text{ para todo número real x}$
- $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \text{ para todo número real x}$
- $\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ para todo número real x entre [-1,1]}$
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