En este artículo encontraras una compilación de las Reglas de Derivación en Cálculo incluyendo algunos conceptos importantes que ayudan a facilitar este proceso como la derivación basados en la regla de la cadena o la derivación logaritmica.
Para comprender los principios de las derivadas visita este link.
1. Reglas de derivación
Dado que el cálculo de derivadas con límites es un poco engorroso se tiene la posibilidad de calcular derivadas con unas sencillas Reglas de Derivación. Los resultados que se resumen a continuación se entregan sin demostración.
1.1. Derivada de una función constante
La derivada de esta función es:
$\frac{d}{dx}\biggl(c\biggr)=0$
7.2. Derivada de la función potencia
Sea la función:
$f(x)=x^n \text{ ; } n\in \mathbb R$
Su derivada es:
$\frac{d}{dx}\biggl(x^n\biggr)=nx^{n-1}$
1.3. Regla del múltiplo constante
Sea la función $f(x)$ diferenciable y $c$ una constante que no depende de $x$ entonces su derivada es:
$\frac{d}{dx}\biggl(cf(x)\biggr)=c\frac{d}{dx}f(x)$
1.4. Regla de la suma y la diferencia
Sea las funciones $f(x)$ y $g(x)$ ambas diferenciable entonces se cumple que:
$\frac{d}{dx}\biggl(f(x)+g(x)\biggr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$
$\frac{d}{dx}\biggl(f(x)-g(x)\biggr)=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$
1.5. Definición del número $e$
Las Reglas de Derivación para una función exponencial $f(x)=a^x$ donde el número aa se conoce como base, existe un número para el cual la pendiente de la función exponencial en $x=0$ es 1. Es decir, una función exponencial donde la pendiente de su recta tangente vale lo mismo que la función, este número se conoce como $e$ y se trata de un número irracional.
Formalmente el número $e$ se puede definir como el número tal que:
$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$
El valor de este número se aproxima a: $e \approx 2.71828$ Utilizando estos hechos y la definición de derivada se puede expresar el número $e$ con los siguientes límites alternativos:
$e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{n \to \infty}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n$
1.6. Derivada de la función exponencial natural
La derivada de esta función es:
$\frac{d}{dx}\biggl(e^x\biggr)=e^x$
1.7. Derivada de la función exponencial
La derivada de esta función en la cual el exponente varía y la base es un número real es:
$\frac{d}{dx}\biggl(a^x\biggr)=a^x\ln a$
1.8. Regla del producto y del cociente
En general, la Regla de Derivación del producto no es el producto de las derivadas, similarmente ocurre con la división. A continuación se muestran las fórmulas correctas para calcular estas derivadas. En primer lugar se muestra la fórmula para el producto. Si tanto $f$ como $g$ son diferenciables, entonces:
$\frac{d}{dx}\biggl[f(x)g(x)\biggr]=f(x)\frac{d}{dx}\biggl[g(x)\biggr]+g(x)\frac{d}{dx}\biggl[f(x)\biggr]$
En segundo lugar se muestra la fórmula para el cociente. Si tanto $f$ como $g$ son diferenciables, entonces:
$\frac{d}{dx}\biggl[\frac{f(x)}{g(x)}\biggr]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$
1.9. Derivadas de funciones trigonométricas
Antes de mostrar las Reglas de Derivación de las funciones trigonométricas es importante contar con dos resultados en cuando a límites trigonométricos comunes:
$\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$
$\lim_{\theta \to 0}\frac{\cos\theta-1}{\theta}=0$
Los límites anteriores que se pueden obtener con argumentos geométricos y con ayuda del teorema de la compresión sirven para calcular las siguientes derivadas de funciones trigonométricas.
Derivada del seno
$\frac{d}{dx}\biggl(\sin x\biggr)=\cos x$
Derivada del coseno
$\frac{d}{dx}\biggl(\cos x\biggr)=-\sin x$
Derivada de la tangente
$\frac{d}{dx}\biggl(\tan x\biggr)=\sec^2 x$
Derivada de la cosecante
$\frac{d}{dx}\biggl(\csc x\biggr)=-\csc x \cot x$
Derivada de la secante
$\frac{d}{dx}\biggl(\sec x\biggr)=\sec x \tan x$
Derivada de la cotangente
$\frac{d}{dx}\biggl(\cot x\biggr)=-csc^2 x$
2. Regla de la cadena
Esta Regla de Derivación en Cálculo permite derivar funciones compuestas que son funciones más complejas que las funciones sencillas anteriormente relacionadas. Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $g(x)$, entonces la función compuesta F=f∘gF=f∘g definida por $F(x)=f(g(x))$ es derivable en $x$ y $F’$ está dada por el producto
$F'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)$
En la notación de Leibniz, si tanto $y=f(u)$ como $u=g(x)$ son funciones diferenciables entonces:
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$
3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Derivada de seno inverso
$\frac{d}{dx}\biggl(\sin ^{-1}x\biggr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Derivada de coseno inverso
$\frac{d}{dx}\biggl(\cos ^{-1}x\biggr)=-\frac{1}{{\sqrt{1-x^2}}}$
Derivada de tangente inversa
$\frac{d}{dx}\biggl(\tan ^{-1}x\biggr)=\frac{1}{{1+x^2}}$
4. Derivadas de funciones logarítmicas
La Regla de Derivación en Cálculo de la función logaritmo en base $a$ es:
$\frac{d}{dx}\biggl(\log_a x\biggr)=\frac{1}{x\ln a}$
Similarmente la derivada de la función logaritmo natural es:
$\frac{d}{dx}\biggl(\ln x\biggr)=\frac{1}{x}$
5. Derivación logarítmica
En ocasiones se tienen funciones difíciles de derivar por su complejidad operativa, por ejemplo funciones que incluyan muchas raíces y fracciones. Una forma fácil de derivar estas funciones consiste en utilizar el método denominado derivación logarítmica el cual se aplica siguiendo los siguientes tres pasos:
- Tome el logaritmo natural en ambos miembros de $y=f(x)$ esto convertirá las potencias en multiplicaciones, las divisiones en restas y las multiplicaciones en sumas utilizando leyes de logaritmos.
- Derive implícitamente respecto a $x$
- Despeje en la ecuación resultante $y’$
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