Las aplicaciones del proceso de Integración son muy variadas y se encontraran en un sinnúmero de ocasiones tanto en física con en diferentes ciencias, en este artículo se exploran las diferentes Aplicaciones de las Integrales al mismo Cálculo y otros temas relacionados con matemáticas.
Si quieres aprender las reglas de derivación sigue este enlace.
13.1. Áreas entre curvas
El área de una región $A$ limitada por las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las rectas $x=a$ y $x=b$, donde $f$ y $g$ son continuas en el intervalo $[a,b]$ y $f(x) \ge g(x)$ para toda $x$ en el intervalo, es:
$A=\int_a^b \biggl( f(x)-g(x) \biggr)dx$
En ocasiones es más fácil hallar estas áreas si expresamos las curvas en términos de $y$, de forma equivalente y para casos específicos el área se puede calcular como:
$A=\int_c^d \biggl( f(y)-g(y) \biggr)dy$
Para el caso de curvas paramétricas se puede calcular el área bajo las curvas utilizando la siguiente relación.
Sea una curva paramétrica definida por las ecuaciones $x=f(t)$ y $y=g(t)$ entonces:
$A=\int_a^bydx=\int_{\alpha}^{\beta}g(t)f'(t)dt$
13.2. Volúmenes
El caso de calcular un volumen es similar a calcular un área, en este caso necesitamos una función que describa el área y como está varía según una variable dependiente.
Sea $S$ un sólido que se encuentra entre $x=a$ y $x=b$ Si el área de la sección transversal de $S$ en el plano $P$, que pasa por $x$ y es perpendicular al eje $x$, es $A(x)$, donde $A$ es una función continua, entonces el volumen de $S$ es:
$V=\lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^nA(x_i*)\Delta x}=\int_a^bA(x)dx$
13.3. Longitud de arco
Si una curva suave con ecuaciones paramétricas $x=f(t)$ y $y=g(t)$ con $a \lt t \lt b$ se recorre exactamente una vez cuando $t$ aumenta de $a$ a $b$, entonces la longitud de arco es:
$L=\int_a^b\sqrt{ \biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^2}dt$
En caso de contar con la ecuación de la curva $y=f(x)$ con $a \lt x \lt b$ entonces se puede considerar $x$ como un parámetro y tener las ecuaciones $x=x$ y $y=f(x)$, por lo tanto, la fórmula anterior se convierte en:
$L=\int_a^b\sqrt{1+\biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2}dx$
13.4. Valor promedio de una función
Para calcular el valor promedio de una función es suficiente tomar elementos representativos, sumarlos y dividir por el total de elementos tomados. De esa forma se puede llevar al límite y obtener una integral para el cálculo del valor promedio de la siguiente manera
$f(c)=f_{prom}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$
Donde $a$ y $b representan los valores extremos del intervalo cerrado donde se quiere calcular el valor promedio de la función.
13.5. Teorema del valor medio para las integrales
Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces existe un número $c$ en $[a,b]$ tal que:
$f(c)=f_{prom}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$
es decir:
$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$
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