Cuando estudiamos derivadas y cualquier rama de la matemática queremos encontrar en que situaciones reales o aplicadas las podemos utilizar, en este artículo se explora los resultados más útiles de Aplicaciones Practicas de la Derivación.
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1. Máximos y mínimos
Una función $f$ tiene un máximo absoluto (o máximo global) en $c$ si $f(c) \ge f(x) \forall x \in D$, donde $D$ es el dominio de $f$. El número $f(c)$ se llama valor máximo de $f$ en $D$, De manera análoga, $f$ tiene un mínimo absoluto en $c$ si $f(c) \le f(x) \forall x \in D$; el número $f(c)$ se denomina valor mínimo de $f$ en $D$, los valores máximo y mínimo de $f$ se conocen como valores extremos de $f$, Una función $f$ posee un máximo local (o máximo relativo) en $c$ si $f(c) \ge f(x)$ cuando $x$ está cercano a $c$ o alternativamente para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene a $c$, De manera análoga, $f$ tiene un mínimo local en $c$ si $f(c) \le f(x)$ cuando $x$ está cerca de $c$.
2. Teorema del valor extremo
Una de las Aplicaciones Prácticas de la Derivación es el Teorema del Valor Extremo que se analiza aquí. Si $f$ es continua sobre un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un valor máximo absoluto $f(c)$ y un valor mínimo absoluto $f(d)$ en algunos números $c$ y $d$ en $[a,b]$
3. Teorema de Fermat
Si $f$ tiene un máximo o un mínimo locales en $c$ y si $f'(c)$ existe, entonces $f'(c)=0$.
Es importante anotar respecto de este teorema que dice que los máximos o mínimos cumplen una condición y no que en los puntos en los cuales $f'(c)=0$ sea necesariamente un máximo o un mínimo; en otras palabras el teorema de Fermat da los puntos en los cuales se podría comenzar a buscar máximos y mínimos.
4. Números críticos
Un número críticos son otra de las Aplicaciones Prácticas de la Derivación y para una función $f$ es un número $c$ en el dominio de $f$ tal que $f'(c)=0$ o $f'(c)$ no existe. Con esta definición se podría reescribir el teorema de Fermat de la siguiente manera: Si $f$ tiene un extremo local en $c$, entonces $c$ es un número crítico de $f$.
5. Método del intervalo cerrado
El siguiente método permite hallar los máximos y mínimos absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado: Para hallar los valores máximos y mínimos absolutos de una función $f$ sobre un intervalo cerrado $[a,b]$:
- Encuentre los valores de $f$ en los números críticos de $f$ en $(a,b)$
- Halle los valores de $f$ en los puntos extremos del intervalo
- El más grande de los valores de los pasos anteriores es el valor máximo absoluto, el valor más pequeño es el valor mínimo absoluto.
6. Teorema del valor medio
Si es una función derivable sobre el intervalo $[a,b]$ entonces existe un número $c$ entre $a$ y $b$ tal que:
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
o lo que equivale a:
$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
En palabras lo que este teorema dice es entre el punto $a$ y $b$ se puede trazar una recta cuya pendiente es igual a la pendiente de la recta tangente en algún punto del recorrido que la función $f$ realiza de $a$ a $b$.
7. Prueba de la primera derivada
Esta prueba permite determinar los máximos y mínimos locales de una función. La prueba afirma lo siguiente: Suponga que $c$ es un número crítico de una función continua $f$
- Si $f’$ cambia de positiva a negativa en $c$ entonces $f$ tiene un máximo local en $c$
- Si $f’$ cambia de negativa a positiva en $c$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$
- Si $f’$ no cambia de signo en $c$ entonces $f$ no tiene ni máximos ni mínimos locales en $c$
8. Prueba de la segunda derivada
Esta prueba permite determinar los máximos y mínimos locales de una función. La prueba afirma lo siguiente: Suponga que $f′′$ es continua cerca de $c$
- Si $f'(c)=0$ y $f”(c) \gt 0$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$
- Si $f'(c)=0$ y $f”(c) \lt 0$ entonces $f$ tiene un máximo local en $c$
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