En muchas ocasiones se presentan situaciones que implican resolver ecuaciones simultaneas, y aunque existen muchas técnicas el uso de matrices ayuda a resolver estas ecuaciones de forma fácil y rápida, en este artículo Sistemas de Ecuaciones Simultaneas con Matrices en Álgebra Lineal aprenderás como resolver estos sistemas.

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1. Sistema de ecuaciones usando Matrices en Álgebra Lineal

1.1. Eliminación de Gauss Jordan usando Matrices en Álgebra Lineal

El proceso de eliminación de Gauss – Jordan sirve para solucionar la anterior ecuación, para ello se debe escribir la matriz aumentada del sistema $\mathbf A$ seguida del vector $b$ de la siguiente manera:

$\left(\begin{array}{cc|c}
a_{11} & a_{12} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & b_2\\
\end{array}\right)$

Donde la idea es obtener una matriz escalonada reducida por reglones y pivote y luego utilizar una sustitución hacia adelante. Para lograr esta matriz se deben hacer tres operaciones fundamentales que puede ser:

  • Conmutación de filas
  • División de una fila por un escalar diferente de cero
  • Adicionar p veces una fila a otra

La notación para estas operaciones fundamentales con reglones es la siguiente:

$R_i \rightarrow cR_i$ Reemplaza la fila i-esima, por ella misma multiplicada por un escalar

$R_j \rightarrow R_j+cR_i$ Sustituye el j-esimo reglón por la suma del reglón $j$ más el reglón $i$ multiplicado por $c$

$R_j \leftrightarrows R_i$ Intercambia los reglones $i$ con el reglón $j$

Las matrices que se obtienen después de realizar una operación fundamental se denominan matrices equivalentes por reglones. Una matriz se encuentra en su forma escalonada reducida por reglones y pivote siempre que:

  • Si existe una fila de ceros esta es la última
  • El primer elemento para una fila que no es toda de ceros es uno
  • Para dos reglones que no todos sus elementos son ceros, entonces el primer uno en el reglón de más abajo también se encuentra más a la derecha.
  • Cualquier columna que contiene un uno y este uno es el primer elemento en el reglón donde aparece tiene ceros en el resto de sus posiciones. El primer uno para un reglón diferente de cero se llama pivote para el reglón

2. Sistemas homogéneos

Un sistema de ecuaciones se dice que es homogéneo cuando el vector bb tiene todas sus componentes en cero, y, por lo tanto, la matriz aumentada del sistema que le corresponde es la siguiente:

$\left(\begin{array}{cc|c}
a_{11} & a_{12} & 0\\
a_{21} & a_{22} & 0\\
\end{array}\right)$

Todos los sistemas homogéneos tiene una solución trivial, es decir, la solución es entonces $x_1=x_2=0$. Para todo sistema homogéneo también se cumple que si tiene más incógnitas que ecuaciones ($n>m$) tiene un número infinito de soluciones. Para un sistema no homogéneo y su correspondiente sistema homogéneo, se pueden encontrar todas las soluciones teniendo en cuenta que si $\mathbf x_1$ es solución y $\mathbf x_2$ también es solución del sistema no homogéneo entonces $\mathbf x_1− \mathbf x_2$ es solución al sistema homogéneo relacionado. Lo anterior es muy útil y se puede representar como $\mathbf y= \mathbf x+ \mathbf h$ donde $\mathbf x$ e $\mathbf y$ es una solución del sistema no homogéneo y $\mathbf h$ es solución del sistema homogéneo, por lo tanto, para encontrar todas las soluciones al sistema no homogéneo basta con encontrar una solución del sistema no homogéneo y todas las soluciones del sistema homogéneo relacionado.

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