En el estudio de cualquier disciplina matemática un tema que es fundamental es comprender las bases geométricas que nos permiten trasladar lo que imaginamos al mundo real de lo que vemos y palpamos, en esta sección se explora las diferentes representaciones de las Rectas y Planos en Geometría.
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1. Rectas
Para las Recta en Geometría en el espacio se tiene la siguiente ecuación vectorial:
$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf v$
Donde el vector $\mathbf v$ es un vector paralelo a $\overrightarrow {PR}$. Extendiendo los componentes se puede obtener las siguientes relaciones denominadas ecuaciones paramétricas de la recta:
$x=x_1+t(x_2-x_1)$
$y=y_1+t(y_2-y_1)$
$z=z_1+t(z_2-z_1)$
Si se despeja $t$ en las ecuaciones anteriores y se igualan definiendo $a=x_2−x_1$, $b=y_2−y_1$ y $c=z_2−z_1$ se obtienen las llamadas ecuaciones simétricas de la recta:
$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$
Tenga en cuenta que las ecuaciones paramétricas o simétricas de una recta no son únicas.
2. Planos
Los Rectas y Planos en Geometría se pueden definir de forma vectorial, para el caso de planos una forma es la siguiente: sea $P$ un punto y $\mathbf n$ un vector dado diferente de cero, el conjunto de puntos $Q$ que cumplen
$\overrightarrow{PQ}\cdot \mathbf n = 0$
se conoce como plano. Las siguientes ecuaciones son las ecuaciones cartesianas de un plano:
$ax+by+cz=d$
$\text{donde }d=ax_0+by_0+cz_0=\overrightarrow{OP}\cdot \mathbf n $
En estas ecuaciones los números $a$, $b$ y $c$ son las componentes del vector $\mathbf n$ normal al plano y los números $x_0$, $y_0$ y $z_0$ son los coordenadas del punto $P$. Finalmente una definición útil es que dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son, es decir si el producto cruz de los vectores normales es cero.
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