Las Series en Matemáticas y Cálculo tiene muchas aplicaciones debido a su poder, por ejemplo podemos expresar funciones como series infinitas o simplificar cálculos, estas páginas contienen un resumen completo de las series, sus aplicaciones y definiciones.

Si deseas iniciar en el mundo del álgebra lineal sigue este vínculo.

1. Sucesiones

Las sucesiones son números consecutivos que se escriben como:

$a_1,a_2.a_3,…,a_n$

Alternativamente una sucesión infinita se puede escribir de la siguiente manera: `{a_n}` Una sucesión `{a_n}` tiene límite `L` y se escribe:

$\lim_{n \to \infty}a_n=L$

Siempre y cuando podamos hacer los términos $a_n$ se acerquen a $L$ tanto como queramos al hacer $n$ lo suficientemente grande. Si el límite anterior existe se dice que la sucesión converge de lo contrario se dice que la sucesión es divergente. Por lo anterior todas las leyes de los límites son aplicables a las sucesiones, incluyendo el teorema de la compresión y el siguiente teorema que se da sin demostración

2. Teoremas y definiciones de Series en Matemáticas y Cálculo

2.1. Crecimiento y decrecimiento

  • Una sucesión ${a_n}$ es creciente si $a_n < a_{n+1}$ para toda $n \ge 1$
  • Una sucesión ${a_n}$ es decreciente si $a_n > a_{n+1}$ para toda $n \ge 1$
  • Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente

2.2. Acotamiento

Una sucesión ${a_n}$ está acotada por arriba si existe un número $M$ tal que $a_n \le M$ para toda $n \ge 1$.

Una sucesión ${a_n}$ está acotada por debajo si existe un número $m$ tal que $a_n \ge m$ para toda $n \ge 1$.

Si la sucesión está acotada por encima y por debajo se dice que la sucesión está acotada.

2.3. Teoremas

Si $\lim_{n \to \infty}|a_n|=0$ entonces $\lim_{n \to \infty}a_n=0$.
La sucesión ${r^n}$ es convergente si $-1 \lt r \le 1$ y divergente para los demás valores de $r$.
Toda sucesión acotada y monótona es convergente

3. Series en Matemáticas y Cálculo

Una serie se obtiene al sumar los términos de una sucesión y la cual se representa de la siguiente manera

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

Dada una serie, se denota con $s_n$ a su n-ésima suma parcial:

$s_n=\sum_{i=1}^n {a_i}=a_1+a_2+a_3+ \dots +a_n$

Si la sucesión ${s_n}$ es convergente y si existe el $\lim_{n\to\infty}{s_n}=s$ como un número real, entonces la serie $\sum{a_n}$ se llama convergente y el número $s$ se denomina suma de la serie. En otro caso se entiende la serie como divergente.

3.1. Serie en Matemáticas: Serie Geométrica

La serie geométrica está dada por la siguiente expresión:

$\sum_{n=1}^{\infty}{ar^{n-a}}$

Esta serie converge siempre y cuando $|r| \lt 1$, en caso contrario diverge.
Cuando la serie converge su suma es:

$\sum_{n=1}^{\infty}{ar^{n-a}}=\frac{a}{1-r}$

4. Serie Binomial

El teorema del binomio es una forma de factorización muy conocida y que se expresa como:

$(a+b)^k=a^k+ka^{k-1}b+\frac{k(k-1)}{2!}a^{k-2}b^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}a^{k-3}b^{3}+\dots+\frac{k(k-1)(k-2)\dots(k-n+1)}{n!}a^{k-n}b^{n}+\dots+kab^{k-1}+b^k$

La notación tradicional de los coeficientes es la siguiente:

$\binom{k}{0}=1$

$\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)(k-2)\dots(k-n+1)}{nª}\text{ con }n=1,2,3, \dots ,k$

La notación anterior permite escribir el teorema del binomio así:

$(a+b)^k=\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}a^{k-n}b^n$

Considerando el caso particular $a=1$ y $b=x$:

$(1+x)^k=\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}x^n$

Esta fórmula es bien conocida para números $k$ que sean enteros positivos. Utilizando series de potencias y la serie de Maclaurin se puede expresar esta serie para otros casos de $k$ siendo fraccionario o negativo.
Si $k$ es un número real y $|x|<1$ entonces se puede expresar la serie binomial como:

$(1+x)^k=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^n$

5. Artículos de Interés

Límites en Cálculo
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Integrales en Cálculo