Los límites se han estudiado desde hace milenios con problemas muy famosos como el de la distancia o el de la tortuga y la liebre que contradicen el sentido común, solo hasta que se instauro el Límite en el Cálculo se pudo comprender la solución de estos problemas.
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1. Definición de Límites en Cálculo
Los límites aparecen en muchos ejemplos, uno de los más representativos es el problema de la pendiente, en el cual se quiere hallar la recta tangente a un punto de una curva, para ello se seleccionan dos puntos muy cercanos de la curva y se calcula la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.
Acercar los puntos cada vez más conlleva a los límites, que se puede escribir como:
$\lim_{Q \to P}m_{PQ}$
En forma más general el límite de una función f$(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es igual $L$ y se denota como:
$\lim_{x \to a}f(x)=L$
Si podemos acercar arbitrariamente los valores de $f(x)$ a $L$ (tanto como deseemos) escogiendo una xx lo bastante cerca de $a$, pero no igual a $a$
2. Límites en Cálculo laterales
Se escribe:
$\lim_{x \to a^-}f(x)=L$
y se dice que el límite izquierdo de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es igual a $L$, si se puede aproximar los valores de $f(x)$ a $L$ tanto como queramos, escogiendo una $x$ lo bastante cerca de $a$ pero menor que $a$. Similarmente el limite
$\lim_{x \to a^+}f(x)=L$
pero en esta ocasión escogiendo una $x$ lo bastante cerca de $a$ pero mayor que $a$. A los anteriores límites se les conoce como límites laterales. Como consecuencia de sus definiciones se tiene que:
$\lim_{x \to a}f(x)=L \text{ si y sólo si } \lim_{x \to a^-}f(x)=L \text{ y } \lim_{x \to a^+}f(x)=L$
3. Leyes de los Límites en Cálculo
Algunas leyes de límites ayudan al cálculo de los mismos, a continuación se presentan estas leyes. Suponiendo que $c$ es una constante y que $\lim_{x \to a}f(x)=L_1$ y $\lim_{x \to a}f(x)=L_2$ existen entonces:
$\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)$
$\lim_{x \to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x \to a}f(x)-\lim_{x \to a}g(x)$
$\lim_{x \to a}(cf(x))=c\lim_{x \to a}f(x)$
$\lim_{x \to a}(f(x)g(x))=\lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)$
$\lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}\text{ si } \lim_{x \to a}f(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a}(f(x)^n)=(\lim_{x \to a}f(x))^n$
$\lim_{x \to a}c=c$
$\lim_{x \to a}x=a$
$\lim_{x \to a}x^n=a^n \text{ con }n\in\mathbb{Z}^+$
$\lim_{x \to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \to a}f(x)} \text{ con }n\in\mathbb{Z}^+$
4. Propiedad de sustitución
Si $f$ es un polinomio o una función racional y $a$ está en el dominio de $f$, entonces:
$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$
Otra importante y útil hecho acerca de los límites expresa que en ocasiones no se puede hallar el límite de una función, pero tal vez se pueda simplificar y hallar el límite de la función más sencilla, entonces Si $f(x)=g(x)$ cuando $x \ne a$ entonces $\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)$, en caso que exista el límite, esto sucede porque se considera el límite es cuando $x$ se aproxima a $a$ y no cuando $x$ en realidad es igual a $a$. Lo anterior permite simplificar una función y hallar el límite de la función más simple.
5. Teorema de la compresión
Antes de definir el teorema de la compresión, el cual es muy útil, consideremos el siguiente teorema:
Si $f(x) \leq g(x)$, cuando $x$ está cerca de $a$ (excepto posiblemente en $a$), y los límites de $f$ y $g$ existen cuando $x$ tiende a $a$:
$\lim_{x \to a}f(x) \leq \lim_{x \to a}g(x)$
El teorema de la compresión entonces plantea que:
Si $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$, cuando $x$ está cerca de $a$ (excepto posiblemente en $a$), y los límites de $f$ y $h$ existen cuando $x$ tiende a $a$ y son iguales, es decir:
$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L$
entonces:
$\lim_{x \to a}g(x)=L$
6. Continuidad de funciones
Una función $f$ es continua en un número $a$ si:
$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$
La anterior definición requiere dos hechos cosas:
- $f(a)$ está definido, es decir, $a\in\text{dominio de}f$
- $\lim_{x\to a}f(x)$ existe, de modo que $f$ debe estar definida en un intervalo abierto que contenga $a$
De forma similar se puede alterar un poco la definición y decir que $f$ es continua desde la derecha en un número $a$ si:
$\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$
Y continua desde la izquierda en un número $a$ si:
$\lim_{x \to a^-}f(x)=f(a)$
La función $f$ es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo, entendiendo en los puntos extremos del intervalo que la función es continua desde la derecha o continua desde la izquierda.
Las discontinuidades de una función pueden darse por varios hechos como son:
- Discontinuidad en el infinito, cuando la función presenta asíntotas verticales
- Discontinuidad por salto, aquellas que son producto de por ejemplo funciones piso o techo
- Discontinuidad removible, aquellas que pueden solventar redefiniendo la función.
7. Teoremas y propiedades de los Límites en Cálculo
Algunos resultados importantes de la continuidad de funciones se recopilan a continuación: Si $f$ y $g$ son continuas en $a$ y $c$ es una constante entonces:
- $f+g$ es continua
- $f−g$ es continua
- $cf$ es continua
- $fg$ es continua
- $\frac{f}{g}$ si $g(a) \ne 0$ es continua
- Cualquier polinomio es continuo en $\mathbb R$
- Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida, es decir es continua en su dominio; sucede lo mismo con las funciones raíz, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logaritmos
Si $f$ es continua en $b$ y $\lim_{x \to a}g(x)=b$, entonces, $\lim_{x\to a}f(g(x))=f(b)$ en otras palabras:
$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$
Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$, entonces la función compuesta $f\circ g(x)=f(g(x))$ es continua en $a$
Finalmente se presenta el teorema del valor intermedio: suponga que $f$ es continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$ y sea $N$ cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$ donde $f(a) \ne f(b)$, entonces existe un número $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=N$
8. Límites en el infinito
Una función como $f(x)=\frac{1}{x^2}$ presenta comportamientos como el que se muestra en la siguiente gráfica:
Cuando la función se acerca a cero los valores se pueden hacer tan grandes como se desee. Lo anterior se representa como:
$\lim_{x \to a}f(x)=\infty$
Quiere decir que la función puede tomar valores arbitrariamente grandes (tan grandes como se quiera) eligiendo una $x$ lo suficientemente cercana a $a$ pero no igual a $a$
8.1. Asíntota vertical
La recta $x=a$ se conoce como asíntota vertical de la función $f(x)$ siempre y cuando se cumpla por lo menos una de las siguientes proposiciones:
- $\lim_{x \to a}f(x)=\infty$
- $\lim_{x \to a^-}f(x)=\infty$
- $\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty$
- $\lim_{x \to a}f(x)=-\infty$
- $\lim_{x \to a^-}f(x)=-\infty$
- $\lim_{x \to a^+}f(x)=-\infty$
Otro caso importante de estudio consiste en la función
$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
En esta función conforme los valores de $x$ crecen más (positiva y negativamente) el valor de la función se acerca más a $1$. Por lo tanto se puede expresar que:
$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-1}{x^2+1}=1$
De manera que sea una función $f$ definida en algún intervalo $(a,\infty )$ entonces:
$\lim_{x \to \infty}f(x)=L$
8.2. Asíntota horizontal
Se llama asíntota horizontal de $f(x)$ a la recta $y=L$ siempre y cuando se cumpla alguna de las siguientes proposiciones:
- $\lim_{x \to \infty}f(x)=L$
- $\lim_{x \to -\infty}f(x)=L$
9. Resultados importantes
Algunos resultados importantes que se obtienen en el estudio de límites en el infinito son los siguientes:
- $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n}=0$
- $\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x^n}=0$
- $\lim_{x \to -\infty}e^x=0$ También es cierto para cualquier base $a$ con $a>0$
10. Regla de L’Hopital
Esta regla permite calcular límites de forma fácil y para ello se hace uso de la derivación. La regla funciona para las siguientes formas indeterminadas, es decir límites que arrojan resultados como: $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ o $0 \cdot \infty$ o $\infty – \infty$ o $0^0$ o $\infty^\infty$ o $1^\infty$
La regla afirma que: suponga que $f$ y $g$ son derivables y que $g'(x) \ne 0$ cerca de $a$ excepto quizás en $a$, suponga que:
$\lim_{x \to a}f(x)=0 \text{ y }\lim_{x \to a}g(x)=0$
o que
$\lim_{x \to a}f(x)=\pm\infty \text{ y }\lim_{x \to a}g(x)=\pm\infty$
En otras palabras se tiene la forma indeterminada $\frac{0}{0}` o `\frac{\infty}{\infty}$ entonces:
$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x \to a}f'(x)}{\lim_{x \to a}g'(x)}$
En el caso de la forma indeterminada del producto puede llevarse a una de las formas indeterminadas expresadas en la regla de L’Hopital si se recurre a la siguiente modificación:
$fg=\frac{f}{\frac{1}{g}}$
En el caso de las diferencias indeterminadas, también se debe recurrir alguna modificación, por ejemplo sacando algún factor común o racionalizando de manera que la forma indeterminada quede expresada en término de la regla de L’Hopital. Finalmente, para el caso de las potencias indeterminadas puede recurrir al logaritmo natural de manera que se lleve a un producto indeterminado, se proceda calculando el límite y finalmente tomando el exponencial del resultado.
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