Las Integrales en Cálculo son una poderosa herramienta que permite resolver un sin número de casos prácticos y modelar la naturaleza de forma muy precisa, su estudio esta presente en casi todas las ramas del conocimiento, aquí encontrarás material suficiente para estudiar las Integrales, entenderlas o repasarlas.
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1. Áreas bajo Curvas
El problema del área bajo la curva se puede resolver inscribiendo rectángulos de base fija $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ donde $n$ es el número de rectángulos que se inscriben en el intervalo $[a,b]$ de esta forma el área se obtiene sumando el área a individual de cada rectángulo y haciendo que $n \to \infty$ los rectángulos inscritos pueden tomarse con cualquier punto sobre la curva (puntos de muestra) por ejemplo se pueden tomar para que estén a la izquierda, a la derecha o en un punto medio. El área bajo la curva se puede obtener entonces evaluando el siguiente límite:
$A=\lim_{n \to \infty}[f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\dotsm+f(x_n)\Delta x]$
La siguiente gráfica ilustra este proceso:
Note que para poder hallar esta área se requiere que la función sea continua.
2. Integrales en Cálculo
2.1. Integral definida
A continuación se presenta la definición de integral definida. Si $f$ es una función continua definida para $a \le x \le b$, dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual ancho $\Delta x=\frac{b−a}{n}$. Hacemos que $x_0(=a),x_1,x_2,\dotso,x_n(=b)$ sean los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos $x_i^*$⋅ se encuentre en el i-esimo subintervalo $[x_{i-1},x_{i}]$, entonces la integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$, es:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$
En la notación anterior se tiene los límites de la integral definida, la función y la variable que se quiere integrar $dx$, esta es la notación de Leibniz. De otra parte la sumatoria es conocida como Suma de Riemann. Como se anotó antes este límite siempre existe y es independiente de la elección de los puntos de muestra siempre y cuando pertenezcan al subintervalo correspondiente. Este límite también se puede hallar si $f$ posee discontinuidades de tipo salto, pero no de tipo infinito. En caso que la función a integrar tome valores negativos (este por debajo del eje $x$), durante esos intervalos el área de la función será considerada como negativa y al tomar la integral sobre un intervalo mayor que abarque porciones de la función donde sea negativa y positiva, la integral definida al ser evaluada corresponderá a una diferencia de áreas y, por lo tanto, en estos casos no puede ser interpretado el resultado como un área.
2.2 Regla del punto medio
Una forma de mejorar las aproximaciones obtenidas con la suma de Riemann consiste en utilizar los puntos medios de cada subintervalo, a este procedimiento se le conoce como regla del punto medio y establece que:
$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})\Delta x$
Donde $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ y $\overline{x_i}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ es decir el punto medio del subintervalo $[x_{i-1},x_i]$
3. Propiedades de las integrales en Cálculo
Supongamos que $f$ y $g$ son funciones continuas, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- $\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx$
- Si $a=b$ entonces $\Delta x=0$ y $\int_a^af(x)dx=0$
- $\int_a^bcdx=c(b-a)$
- $\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
- $\int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx$
- $\int_a^b(f(x)-g(x))dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x)dx$
- $\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
- Si $f(x) \ge 0$ para $a \le x \le b$, entonces $`\int_a^bf(x)dx \ge 0$
- Si $f(x) \ge g(x)$ para $a \le x \le b$, entonces $\int_a^bf(x)dx \ge \int_a^bg(x)dx$
- Si $m \le f(x) \le M$ para $a \le x \le b$, entonces $m(b-a) \le \int_a^bf(x)dx \le M(b-a)$
4. Teorema de evaluación
Si $f$ es continua sobre el intervalo $[a,b]$ entonces:
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
Donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$, es decir, $F’=f$ Esta expresión se relaciona con el teorema fundamental del cálculo. Existen varias notaciones adicionales para expresar la evaluación de esta integral como la que se muestra a continuación:
$\int_a^bf(x)dx=F(x)\biggr\rvert_a^b=F(x)\biggr]_a^b$
5. Integrales en Cálculo indefinidas
La notación más conveniente para una antiderivada es una integral indefinida, que se escribe como:
$\int f(x)dx=F(x)$
Significa que $F'(x)=f(x)$ Note que una integral indefinida es una familia de funciones mientras que una integral definida es un número. Las integrales definidas e indefinidas se pueden relacionar mediante el siguiente resultado:
$\int_a^bf(x)dx=\int f(x)dx\biggr\rvert_a^b$
Las integrales indefinidas siguen las mismas propiedades de las integrales definidas, adicionalmente es conveniente contar con una breve tabla de integrales que permitan encontrar rápidamente las antiderivadas. A continuación, se provee una breve tabla.
$\int \biggl[f(x) \pm g(x)\biggr]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$
$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+a}+C \text{ con }n \ne -1$
$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
$\int e^xdx=e^x+C$
$\int \sin x dx=-\cos x+C$
$\int \cos x dx=\sin x+C$
$\int \sec^2xdx=\tan x+C$
$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$
$\int \sec x \tan xdx=\sec x+C$
$\int \csc x \cot xdx=-\csc x +C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin ^{-1}x+C$
$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cos ^{-1}x+C$
$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\tan^{-1}x+C$
6. Teorema del cambio total
De los resultados anteriores se puede escribir el siguiente teorema denominado teorema del cambio total: La integral de una razón de cambio es el cambio total:
$\int_a^bF'(x)dx=F(b)-F(a)$
7. Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo relaciona las dos ramas del cálculo, cálculo diferencial y cálculo integral y muestra como el proceso de integración es contrario o inverso al proceso de derivación y viceversa. Para expresar este hecho con una formulación matemática se puede plantear de la siguiente manera: Sea $f$ una función continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$, luego la función definida por:
$A(x)=\int_a^xf(t)dt\text{ con }a\le x \le b$
Es una antiderivada de $f$, es decir, $A'(x)=f(x)$ De forma alternativa se puede utilizar la notación de Leibniz:
$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$
Adicionalmente el teorema fundamental del cálculo establece que:
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
Donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$. Lo anterior implica que el teorema de evaluación está incluido en el Teorema Fundamental del Cálculo. La siguiente imagen ilustra la función $A$ (función de acumulación).
8. Integrales en Cálculo impropias
Algo muy importante cuando se tienen integrales definidas es si estas se evalúan sobre un intervalo que o bien es infinito o bien la función tiene una discontinuidad infinita, en ambos casos la integral recibe el nombre de integral impropia y debe evaluarse utilizando límites. A continuación se muestran las diferentes formas en las que una integral impropia debe evaluarse.
9. Integrales impropias por intervalos infinitos
Esta integral es comúnmente conocida como integral impropia de tipo 1 y presenta tres casos.
- Si $\int_a^tf(x)dx$ existe para todo número $t \ge a$ entonces
$\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t \to \infty}\int_a^tf(x)dx$
- Si $\int_t^bf(x)dx$ existe para todo número $t \le a$ entonces
$\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(x)dx$
Siempre y cuando el límite exista. Se dice que las integrales impropias son convergentes si el límite existe y divergentes si el límite no existe.
- Si tanto $\int_a^{\infty}f(x)dx$ como $\int_{-\infty}^bf(x)dx$ son convergentes, entonces definimos
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{\infty}f(x)dx$
Donde $a$ es cualquier número real. Es importante realizar varias observaciones con este tipo de integrales. La primera de ellas consiste en que no se puede obviar las fórmulas dadas y estas integrales deben evaluarse a través del uso de límites para obtener resultados correctos. Otro resultado importante es el siguiente:
$\int_1^{\infty}\frac{1}{x}dx\text{ es divergente}$
$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx\text{ es convergente}$
La siguiente gráfica muestra la función $f(x)=\frac{1}{x^2}$
En términos generales se puede escribir:
$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx\text{ converge si }p>1\text{ y diverge si }p \le 1$
10. Integrales impropias por discontinuidades infinitas
Esta integral es comúnmente conocida como integral impropia de tipo 2 y presenta tres casos.
- Si $f$ es continua en $[a,b)$ y discontinua (infinitamente) en $b$ entonces
$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to b^-}\int_a^tf(x)dx$
Si este limite existe.
- Si $f$ es continua sobre $(a,b]$ y discontinua (infinitamente) en $a$ entonces
$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx$
Si este límite existe.
Se dice que las integrales impropias son convergentes si el límite existe y divergentes si el límite no existe.
- Si $f$ tiene un discontinuidad infinita en $c$ donde $a \lt c \lt b$ y tanto $\int_a^cf(c)dx$ como $\int_c^bf(x)dx$ son convergentes, entonces definimos
$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$
11. Teorema de comparación
Este teorema es útil cuando no se puede calcular la integral impropia, pero se desea saber si es convergente o divergente, establece lo siguiente.
Suponga que $f$ y $g$ son funciones continuas $f(x) \ge g(x) \ge 0$ para $x \ge a$
- Si $\int_a^{\infty}f(x)dx$ es convergente, entonces $\int_a^{\infty}g(x)dx$ también lo es.
- Si $\int_a^{\infty}g(x)dx$ es divergente, entonces $\int_a^{\infty}f(x)dx$ también lo es.
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