Matemáticas Operativas

En esta página encontraras conceptos fundamentales de Matemáticas Operativas que incluyen relaciones básicas de trigonometría y algunos temas utilizados en situaciones más avanzadas como fracciones parciales.

Navega a este link para avanzar a temas de cálculo, los límites es un buen punto para iniciar.

1. Trigonometría

Algunas de las relaciones trigonométricas mas útiles en matemáticas operativas, relacionadas con las funciones trigonométricas básicas como el seno, el coseno y la tangente se listan a continuación:

$\sin\theta=\frac{1}{\csc\theta}\text{ ; }\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}\text{ ; }\tan\theta=\frac{1}{\cot\theta}$

Las relaciones en un triangulo rectángulo donde $h$ representa la hipotenusa, $co$ el cateto opuesto y $ca$ el cateto adyacente del ángulo $\theta$ están dadas por las siguientes relaciones

$\sin\theta=\frac{co}{h}\text{ ; }\cos\theta=\frac{ca}{h}\text{ ; }\tan\theta=\frac{co}{ca}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Algunas otras identidades trigonométricas útiles se muestran en el siguiente resumen.

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$

$\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta$

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha$

$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

$\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$

$\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

$\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

$\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$

$\cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

$\tan\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\csc\theta-\cot\theta=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

2. Ley de senos y cosenos

Dado el siguiente gráfico:

La ley de senos establece que:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

La ley de cosenos establece que:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos c$

3. Logaritmos y exponenciales

Los logaritmos y exponenciales también hacen parte de las matemáticas operativas. Las siguientes son las leyes más representativas para el manejo de logaritmos y funciones exponenciales

$\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$

$\log_a(\frac{x}{y})=\log_a(x)-\log_a(y)$

$\log_a(x^r)=r\log_a(x)$

$\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$

$a^{x+y}=a^xa^y$

$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$

$(a^x)^y=a^{xy}$

$(ab)^x=a^xb^x$

Tenga presente que $\log_ex=\ln x$ siendo $e$ el número de Euler, para mayores detalles de logaritmos y exponenciales se puede dirigir a la sección de funciones.

4. Fracciones parciales

La expansión por fracciones parciales es una técnica muy útil para simplificar un cociente de polinomios como la combinación lineal de cocientes de polinomios más simples. Pueden analizarse la expansión en fracciones parciales utilizando los siguientes casos.

4.1. Caso 1

Caso en el cual el grado del numerador sea un grado más pequeño que el denominador. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:

$\frac{5x-4}{2x^2+x-1}$

Se pude expresar como:

$\frac{5x-4}{(x+1)(2x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}$

Donde $A$ y $B$ son constantes que se puede hallar al multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador factorizado para obtener:

$5x-4=A(2x-1)+B(x+1)$

$5x-4=(2A+B)x+(-A+B)$

Lo cual conduce a dos ecuaciones simultáneas: $5=2A+B$ y $-4=-A+B$ De allí se obtiene la solución y la expansión por fracciones parciales resulta ser:

$\frac{5x-4}{(x+1)(2x-1)}=\frac{3}{x+1}-\frac{1}{2x-1}$

4.2. Caso 2

Si el grado del numerador es mayor o igual que el denominador es necesario realizar la división de polinomios para luego aplicar las mismas consideraciones del caso 1.

4.3. Caso 3

Si el denominador tiene más de un factor lineal es necesario incluir un término correspondiente por cada factor. Por ejemplo:

$\frac{x+6}{x(x-3)(4x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{4x+5}$

Lo cual conduce a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones.

4.4. Caso 4

En el caso en que el denominador posea un factor cuadrático irreducible $ax^2+bx+c$ donde el discriminante $b^2-4ac$ sea negativo entonces la fracción parcial corresponde de la siguiente manera:

$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$

5. Artículos de Interés

Funciones Matemáticas

Matrices en Algebra Lineal

Límites en Cálculo